Как найти высоту пирамиды угол грани - AutoPluse.ru

Пирамидой называют многогранник, одна грань которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной. Многоугольник называют основанием пирамиды, а треугольники – боковыми гранями.

Высотой пирамиды называют перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости ее основания.

На рисунке 9.53 изображена четырехугольная пирамида с вершиной в точке . Четырехугольник – основание пирамиды, треугольники , , и – ее боковые грани. Отрезки , , и – боковые ребра пирамиды. Отрезок – высота пирамиды.

1. Если все боковые ребра пирамиды равны или наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то основание высоты пирамиды, проведенной из ее вершины, совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды.

2. Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом (двугранные углы при основании равны), то основание высоты пирамиды, проведенной из ее вершины, совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды.

3. Если две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то боковое ребро, содержащее эти грани, является высотой пирамиды.

Объем пирамиды высоты находят по формуле:

$LaTeX formula: V=frac{1}{3}S_{o.} cdot h$ , (9.11)

Площадь поверхности пирамиды находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{n.}=S_{o.}+S_{delta .}$ . (9.12)

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды, проведенной из ее вершины, совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды (или описанной около основания пирамиды, так как центры этих окружностей совпадают).

На рисунке 9.54 изображена правильная четырехугольная пирамида, а на рисунке 9.55 – правильная треугольная.

Высоту боковой грани правильной пирамиды, проведенную из ее вершины, называют апофемой. На рисунке 9.54 отрезок – апофема правильной четырехугольной пирамиды.

Любую треугольную пирамиду называют тетраэдром.

Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны.

На рисунке 9.56 изображен правильный тетраэдр.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{delta .}=frac{1}{2}P_{o.} cdot h_{delta .}$ , (9.13)

где $LaTeX formula: h_{delta .}$ – апофема пирамиды.

Усеченной пирамидой называют многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию пирамиды.

Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники.

Высотой усеченной пирамиды называют перпендикуляр, заключенный между плоскостями ее оснований.

На рисунке 9.57 изображена треугольная усеченная пирамида, а на рисунке 9.58 – правильная четырехугольная усеченная пирамида.

Объем усеченной пирамиды находят по формуле:

$LaTeX formula: V=frac{1}{3}h(S_1+S_2+sqrt{S_1S_2})$ , (9.14)

где и – площади оснований, – высота усеченной пирамиды.

Пример 1. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной дм, а две ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания (рис. 9.59). Найдите объем пирамиды, зная, что ее высота равна дм.

Решение. Так как две боковые грани и пирамиды перпендикулярны плоскости ее основания, то их общее ребро является высотой пирамиды. Площадь основания пирамиды найдем по формуле $LaTeX formula: S=frac{sqrt{3}a^2}{4}$ . Получим: $LaTeX formula: S=frac{4sqrt{3}}{4}=sqrt{3}$ ( $LaTeX formula: _{partial M}\^3$ ).

Объем пирамиды найдем по формуле 9.11 . Получим: $LaTeX formula: V=frac{1}{3}cdot sqrt{3}cdot sqrt{3}=1$ ( $LaTeX formula: _{partial M}\^3$ ).

Ответ: $LaTeX formula: _{partial M}\^3$ .

Пример 2. Вычислите объем правильного тетраэдра с ребром, равным .

Решение. Так как тетраэдр правильный (рис. 9.60), то его высота опускается в центр треугольника : точку , точку пересечения высот, биссектрис и медиан этого треугольника.

Тогда $LaTeX formula: OA=frac{a }{sqrt{3}}$ – радиус окружности, описанной около ; – высота тетраэдра.

Найдем высоту тетраэдра. Рассмотрим треугольник . Из теоремы Пифагора: , , $LaTeX formula: h=sqrt{a^2-frac{a^2}{3}}=sqrt{frac{2a^2}{3}}=frac{sqrt{2}a}{sqrt{3}}$ .

Объем тетраэдра вычислим по формуле 9.11 , где $LaTeX formula: S_{o.}=frac{sqrt{3}a^2}{4}$ . Запишем: $LaTeX formula: V=frac{1}{3}cdot frac{sqrt{3}a^2}{4}cdot frac{sqrt{2}a}{sqrt{3}}=frac{sqrt{2}a^3}{12}$ .

Ответ: $LaTeX formula: frac{sqrt{2}a^3}{12}$ .

Пример 3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной , и острым углом $LaTeX formula: 30^{circ}$ . Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $LaTeX formula: 60^{circ}$ . Найдите объем пирамиды.

Решение. Основанием пирамиды является треугольник : $LaTeX formula: angle C=90^{circ}$ ; (рис. 9.61). Так как боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота пирамиды опускается в центр окружности, описанной около этого треугольника (на рисунке 9.61 точка ). Тогда $LaTeX formula: AO=R=frac{c}{2}$ и высота пирамиды .

Рассмотрим прямоугольный треугольник . Угол является углом наклона бокового ребра к плоскости основания, так как отрезок – проекция ребра на плоскость основания и $LaTeX formula: angle SAO=60^{circ}$ . Тогда $LaTeX formula: tg60^{circ}=frac{SO}{AO}$ и $LaTeX formula: SO=frac{sqrt{3}c}{2}=h$ .

Рассмотрим прямоугольный треугольник : $LaTeX formula: CB=frac{c}{2}$ по свойству катета, лежащего против угла $LaTeX formula: 30^{circ}$ ; $LaTeX formula: angle B=60^{circ}$ .

Найдем площадь треугольника:

$LaTeX formula: S_{triangle ABC}=frac{1}{2}ABcdot CBcdot sinangle B$ , $LaTeX formula: S_{triangle ABC}=frac{1}{2}ccdot frac{c}{2}cdot frac{sqrt{3}}{2}$ , $LaTeX formula: S_{triangle ABC}=frac{sqrt{3}c^2}{8}$ .

По формуле 9.11 найдем объем пирамиды: $LaTeX formula: V=frac{1}{3}cdot frac{sqrt{3}c^2}{8}cdot frac{sqrt{3}c}{2}=frac{c^3}{16}$ .

Ответ: $LaTeX formula: frac{c^3}{16}$ .

Пример 4. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами см, см и см. Боковые грани пирамиды образуют с ее основанием равные двугранные углы, содержащие по $LaTeX formula: 45^{circ}$ . Определите объем пирамиды.

Решение. Основанием пирамиды (рис. 9.62) служит равнобедренный треугольник : см, см. Так как боковые грани образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, то высота пирамиды опускается в центр окружности, вписанной в треугольник , то есть в точку , лежащую на высоте этого треугольника.

Тогда см; , где – радиус окружности, вписанной в основание пирамиды и $LaTeX formula: r=frac{2S}{a+b+c}$ .

Площадь треугольника найдем по формуле Герона $LaTeX formula: S_{triangle ABC}=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , где $LaTeX formula: p=frac{5+6+6}{2}=8,5$ (см) и $LaTeX formula: S_{triangle ABC}=sqrt{8,5cdot (8,5-5)(8,5-6)^2}=frac{5sqrt{119}}{4}$ ( $LaTeX formula: _{CM}\^3$ ). Следовательно, $LaTeX formula: r=frac{5sqrt{119}}{2cdot 17}=frac{5sqrt{7}}{2sqrt{17}}$ (см).

Угол – линейный угол двугранного угла , так как и , и согласно условию задачи $LaTeX formula: angle SKB=45^{circ}$ . Значит, треугольник равнобедренный и $LaTeX formula: h=r=frac{5sqrt{7}}{2sqrt{17}}$ (см).

Согласно формуле 9.11 найдем объем пирамиды:

$LaTeX formula: V=frac{1}{3}cdot frac{5sqrt{119}}{4}cdot frac{5sqrt{7}}{2sqrt{17}}=frac{25cdot 7}{24}=frac{175}{24}$ ( $LaTeX formula: _{CM}\^3$ ).

Ответ: $LaTeX formula: frac{175}{24}$ $LaTeX formula: _{CM}\^3$ .

Пример 5. Апофема правильной четырехугольной пирамиды (рис. 9.63) равна и образует с высотой пирамиды угол $LaTeX formula: 30^{circ}$ . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение. Так как пирамида правильная, то четырехугольник – квадрат, а ее боковые грани – равнобедренные треугольники.

Точка – центр окружности, вписанной в основание пирамиды, следовательно, $LaTeX formula: OP=r=frac{DC}{2}$ .

Поскольку $LaTeX formula: angle SOP=90^{circ}$ , а $LaTeX formula: angle PSO=30^{circ}$ , то $LaTeX formula: OP=frac{sqrt{3}}{2}$ , тогда .

По формуле 9.13 найдем площадь боковой поверхности пирамиды: $LaTeX formula: S_{delta .}=frac{1}{2}cdot 4cdot sqrt{3}cdot sqrt{3}=6$ .

Ответ: .

Пример 6. Основание пирамиды – ромб с острым углом $LaTeX formula: 30^{circ}$ и стороной, равной . Найдите объем пирамиды, если известно, что ее вершина удалена от всех сторон основания на расстояние, равное .

Решение. Так как вершина пирамиды равноудалена от всех сторон ромба, то основание высоты пирамиды (точка ) совпадает с центром окружности, вписанной в ромб (рис. 9.64). По формуле найдем площадь ромба: $LaTeX formula: S=3^2sin30^{circ}=frac{9}{2}$ .

С другой стороны, площадь ромба можем найти и по формуле , откуда $LaTeX formula: h=frac{S}{a}$ , $LaTeX formula: h=frac{9}{2cdot 3}=frac{3}{2}$ .Тогда $LaTeX formula: OP=frac{h}{2}=frac{3}{4}$ .

Из теоремы Пифагора $LaTeX formula: OS=sqrt{SP^2-OP^2}$ , $LaTeX formula: OS=sqrt{3-frac{9}{16}}=frac{sqrt{39}}{4}$ .

По формуле 9.11 найдем объем пирамиды:

$LaTeX formula: V=frac{1}{3}cdot frac{9}{2}cdot frac{sqrt{39}}{4}=frac{3sqrt{39}}{8}$ .

Ответ: $LaTeX formula: frac{3sqrt{39}}{8}$ .

Пример 7. Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $LaTeX formula: 45^{circ}$ , а длины ребер оснований соответственно равны см и см (рис. 9.65). Найдите объем пирамиды.

Решение. Так как основания усеченной пирамиды – квадраты со сторонами и см, то их площади соответственно равны:

$LaTeX formula: _{CM}\^2$ , $LaTeX formula: _{CM}\^2$ .

По теореме Пифагора найдем диагонали квадратов:

(см), (см).

Так как диагонали точкой пересечения делятся пополам, то см, а см.

Рассмотрим диагональное сечение пирамиды – трапецию . Так как , то имеем прямоугольник , в котором , а . Поскольку треугольник равнобедренный, то (см) и см. Следовательно, высота усеченной пирамиды см.

По формуле 9.14 найдем объем пирамиды:

$LaTeX formula: V=frac{1}{3}cdot sqrt{2}(16+4+sqrt{16cdot 4})=frac{sqrt{2}}{3}(20+4cdot 2)=frac{28sqrt{2}}{3}$ ( $LaTeX formula: _{CM}\^3$ ).

Ответ: $LaTeX formula: frac{28sqrt{2}}{3}$ $LaTeX formula: _{CM}\^3$ .

1. Решение задач, связанных с пирамидой, необходимо начинать с построения высоты пирамиды.

2. Различайте правильную треугольную пирамиду и правильный тетраэдр:

1) у правильной треугольной пирамиды основание – правильный треугольник, а боковые ребра хоть и равны между собой, но не обязательно, что они равны ребрам основания пирамиды;

2) правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, у которой все ребра равны.

Источник

§ 14. Пирамида

14.1. Определение пирамиды и её элементов

Определение. Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань — многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной (рис. 95, 96).

Рис. 95

Рис. 96

Многоугольник называется основанием пирамиды, остальные грани — боковыми гранями пирамиды, их общая вершина — вершиной пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами её основания, называются боковыми рёбрами пирамиды.

Пирамиду с основанием АВСDЕ и вершиной Р обозначают PABCDE.

Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания, называется высотой пирамиды. Длину этого перпендикуляра также называют высотой пирамиды.

Пирамида называется n-угольной, если её основанием является n-угольник.

На рисунке 96 изображена четырёхугольная пирамида PABCD, у которой: четырёхугольник ABCD — основание пирамиды; точка Р — вершина пирамиды; отрезки РA, РВ, PC, PD — боковые рёбра пирамиды; отрезки АВ, ВС, CD, DA — стороны (рёбра) основания пирамиды; отрезок РО — высота пирамиды; треугольники РАВ, РВС, PCD, PDA — боковые грани пирамиды.

Рис. 97

У n-угольной пирамиды имеется (n + 1) вершин, 2n рёбер и (n + 1) граней. Диагоналей пирамида не имеет. В пирамиде различают плоские углы при её вершине и двугранные углы при её рёбрах. Двугранным углом при ребре пирамиды называют содержащий пирамиду двугранный угол, образованный плоскостями граней, проходящими через данное ребро.

Треугольную пирамиду (рис. 97) называют также тетраэдром («тетраэдр» по-гречески означает «четырёхгранник»). Тетраэдр — это многогранник с наименьшим числом граней. Любая грань тетраэдра может быть принята за его основание; это отличает тетраэдр от всех остальных пирамид.

Любую пирамиду можно разбить на некоторое число тетраэдров, а любой выпуклый многогранник — на некоторое число пирамид. Для этого достаточно, например, взять любую точку внутри данного многогранника и соединить её отрезками со всеми его вершинами. Такое разбиение часто используется при нахождении объёмов многогранников.

14.2. Некоторые виды пирамид

Если все боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы, то: а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды; б) все боковые рёбра пирамиды равны между собой.

Рис. 98

Доказательство. а) Пусть отрезок РО — высота пирамиды PABCDEF, все рёбра которой составляют с плоскостью основания угол ϕ (рис. 98). Тогда прямоугольные треугольники РОА, POB, POC, POD, РОЕ и POF, имея общий катет РО, равны между собой (по катету и острому углу ϕ). Из равенства этих треугольников следует: ОА = OВ = ОС = OD = OE = OF, т. е. вершины основания пирамиды равноудалены от основания О её высоты РО. Это означает, что точка О — центр окружности, описанной около основания ABCDEF данной пирамиды.

б) Из ОА = OВ = ОС = OD = ОЕ = OF следует, что боковые рёбра РА, РВ, PC, PD, РЕ, PF пирамиды равны, как наклонные, имеющие равные проекции, т. е. РА = РВ = PC = PD = РЕ = PF. Что и требовалось доказать. ▼

Вы самостоятельно можете доказать обратные утверждения.

1. Если основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около её основания, то: а) все боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы; б) все боковые рёбра пирамиды равны между собой.

2. Если все боковые рёбра пирамиды равны, то: а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды; б) все боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью её основания равные между собой углы.

Также имеет место следующее утверждение.

Если высота пирамиды пересекает её основание и все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в её основание.

Доказательство. Пусть РО — высота пирамиды PABCDE, боковые грани которой образуют с плоскостью основания пирамиды двугранные углы, равные ϕ (рис. 99).

Рис. 99

Проведём высоты РН1, РH2, РН3, PH4, РH5 боковых граней.

Тогда по теореме о трёх перпендикулярах получаем OH1⟂AB, OH2⟂BC, OH3⟂CD, OH4⟂DE, OH5⟂EA, следовательно, ∠OH1P =∠ OH2P=∠ OH3P = ∠ OH4P = ∠ OH5P = ϕ. Поэтому △ OH1P = △ OH2P = △ OH3P = △ OH4P = △ OH5P (как прямоугольные с общим катетом OP и острым углом ϕ). Из равенства этих треугольников следует ОН1 = OH2 = OH3 = ОН4 = ОН5, т. е. точка О — основание высоты РО пирамиды — равноудалена от всех сторон многоугольника ABCDE. Это означает, что точка O является центром окружности, вписанной в основание ABCDE данной пирамиды. Теорема доказана. ▼

Самостоятельно докажите обратное утверждение.

Если вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды, то боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы.

Перечислим ещё несколько часто встречающихся в задачах видов пирамид.

Рис. 100

Рис. 101

Рис. 102

• Пирамида, ровно одна боковая грань которой перпендикулярна плоскости основания. Высота такой пирамиды лежит в этой, перпендикулярной основанию, грани (рис. 100).

• Пирамида, две соседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания. Высотой такой пирамиды служит боковое ребро, общее для этих граней (рис. 101).

• Пирамида, две не соседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания. Высота такой пирамиды лежит на прямой пересечения плоскостей этих граней (рис. 102).

14.3. Правильная пирамида

Определение. Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр этого основания.

Рис. 103

Из определения следует алгоритм построения изображения правильных пирамид, что, в свою очередь, доказывает существование таких пирамид.

Для построения изображения правильной пирамиды достаточно построить изображение соответствующего правильного многоугольника (основания пирамиды) и его центра. Затем из построенного центра провести перпендикуляр к плоскости многоугольника и выбрать на этом перпендикуляре (в качестве вершины пирамиды) любую точку, отличную от центра многоугольника. Соединив отрезками прямых эту точку со всеми вершинами многоугольника, получим изображение правильной пирамиды.

На рисунке 103, а, б, в построены изображения правильных пирамид: а) треугольной; б) четырёхугольной; в) шестиугольной.

Правильные пирамиды обладают замечательным свойством.

В правильной пирамиде все боковые рёбра равны, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Рис. 104

Доказательство. Рассмотрим правильную n-угольную пирамиду РА1А2…An. Пусть точка O — центр n-угольника A1A2A3…An; отрезок РО — перпендикуляр к плоскости основания пирамиды (рис. 104).

Так как центр правильного многоугольника является центром окружности, описанной около этого многоугольника, то ОА1 = OA2 = OA3 = … = OAn (как радиусы описанной окружности). Тогда равны боковые рёбра пирамиды, как наклонные к плоскости её основания, имеющие равные проекции, т. е. PA1 = PA2 = PA3 = … = PAn.

Таким образом, имеем:

РА1 = РA2 = … = PAn (как боковые рёбра);

A1A2 = A2A3 = … = AnA1 (как стороны правильного n-угольника).

Следовательно, треугольники PA1A2, РA2A3, …, PAnA1 являются равнобедренными и по третьему признаку равенства треугольников равны между собой.

Это свойство правильной пирамиды можно доказать при помощи поворота пирамиды вокруг оси, содержащей её высоту.

Так как точка О — центр правильного n-угольника A1A2A3…An, лежащего в основании правильной пирамиды PA1A2…An, РО — перпендикуляр к плоскости её основания, то при вращении данной пирамиды вокруг оси ОР на угол, равный (где k = 1, 2, 3, …, n), происходит самосовмещение этой пирамиды: вершины основания пирамиды отображаются на его же вершины (основание совмещается с самим собой); вершина Р (как точка оси вращения) отображается на себя. Следовательно, боковые рёбра пирамиды отображаются на боковые рёбра, а боковые грани пирамиды — на её боковые грани. А так как вращение вокруг прямой — движение, то все боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой, а грани являются равными равнобедренными (почему?) треугольниками. Утверждение доказано. ▼

Следствием доказанного выше является утверждение.

Все боковые рёбра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, а все боковые грани — равные двугранные углы.

Докажите это предложение самостоятельно.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая к ребру её основания, называется апофемой пирамиды. На рисунке 104 отрезок РН — одна из апофем пирамиды.

Все апофемы правильной пирамиды равны вследствие равенства всех её боковых граней.

Имеют место признаки правильной пирамиды:

Пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, является правильной, если: а) все её боковые рёбра равны; б) все её боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы; в) все её боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Докажите это самостоятельно.

 ЗАДАЧА (2.245). Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна h и образует с боковой гранью угол α. Через сторону основания пирамиды проведена плоскость, перпендикулярная противоположной грани и пересекающая её. Найти площадь сечения.

Дано: PABCD — правильная пирамида (рис. 105); РО — высота пирамиды, РО = h; ∠ OPF = α.

Найти: SADKM.

Решение. Первый способ. Пусть отрезок EF — средняя линия основания пирамиды. Тогда AD ⟂ EF, AD ⟂ PF ⇒ АD ⟂ (РEF) ⇒ (PEF) ⟂ (ADP) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей). Поэтому прямая PF является ортогональной проекцией прямой РO на плоскость ADP. Значит, ∠ OPF — угол между высотой PO и боковой гранью ADP пирамиды: ∠ OPF = α.

Рис. 105

Далее имеем: AD ⟂ (PEF), ВС || AD ⇒ ВC ⟂ (PEF) ⇒ прямая ВС перпендикулярна любой прямой плоскости PEF. Поэтому если FL ⟂ РЕ (в плоскости PEF), то BС ⟂ FL. Тогда FL ⟂ ВС, FL ⟂ PE ⇒ FL ⟂ (BCP) ⇒ (ADL) ⟂ (ВCР) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей); при этом (ADL) ∩ (ВСР) = МK, МK || AD, так как плоскости ВСР и АDL проходят через параллельные прямые ВС и AD. Значит, сечение ADKM — трапеция, у которой FL — высота (почему?), откуда

Sсеч = •FL.

Найдём AD, МK и FL.

В △ OPF (∠ POF = 90°):

OF = OP•tg α = h•tg α; PF = = = PE.

Поэтому

EF = 2FO = 2h•tg α = ВС.

В плоскости PEF получаем:

FL ⟂ РЕ, РО ⟂ EF ⇒ ∠ EFL = ∠ OPE = α.

Тогда в △ ЕFL: FL = ЕF•cos α = 2h•tg α•cos α = 2hsin α;

в △ PLF (∠ PLF = 90°, ∠ PFL = 90° – 2α):

PL = PF•sin (90° – 2α) = PF•cos 2α = .

Так как MK | | BC, то △ МKР ∾ △ ВСР, откуда

= ⇒ MK = = =

= 2htg α•cos 2α.

Таким образом,

AD = EF = 2h•tg α, FL = 2h•sin α, MK = 2h•tg α•cos 2α.

Тогда

Sсеч = •FL = •2h•sin α =

= = 4h2•sin2 α•cos α.

Замечание. Отрезок MK можно найти следующим образом. Сечением данной пирамиды плоскостью, проходящей через прямую MK параллельно основанию пирамиды, является квадрат MKD1A1 (см. рис. 105). F1 = A1D1 ∩ PF. У этого квадрата LF1 = MK. Найдём F1L.

В треугольнике LFF1 имеем ∠ FLF1 = α (LF1 || EF),

∠ F1FL = ∠ OFP – ∠ OFL = (90° – α) – α = 90° – 2α;

∠ FF1L = 180° – ∠ OFF1 = 90° + α. Тогда по теореме синусов

Рис. 106

Значит, MK = LF1 = 2h•tg α•cos 2α.

Второй способ. Пусть точки M1, K1, L1 — ортогональные проекции на плоскость основания соответственно точек М, K, L (рис. 105, 106). Так как плоскости АСР, BDP и EFP перпендикулярны плоскости основания пирамиды, то ортогональными проекциями прямых PC, РВ и РЕ на эту плоскость являются соответственно прямые АС, BD и EF. Следовательно, M1 ∈ BD, K1 ∈ AC, L1 ∈ EF, причём четырёхугольник ADK1M1 — равнобедренная трапеция.

Таким образом, трапеция ADK1M1 — ортогональная проекция сечения ADKM. Это означает, что SADKM = . Найдём . Так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и M1K1 || AD, то OL1 = L1K1, OF = FD. Значит,

= •L1F = •FL1 = .

Тогда

SADKM = = = 4h2•sin2 α•cos α.

Ответ: 4h2•sin2 α•cos α.

14.4.Площади боковой и полной поверхностей пирамиды

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. В этой связи различают боковую и полную поверхности пирамиды, а также их площади.

Площадью боковой поверхности пирамиды (обозначают Sбок) называется сумма площадей всех её боковых граней: Sбок = S1 + S2 + … + Sn, где S1, S2, …, Sn — площади боковых граней пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды (обозначают Sполн) называется сумма площадей всех её граней, т. е. сумма площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности.

Из определения следует: Sполн = Sбок + Sосн.

О площади боковой поверхности правильной пирамиды имеет место следующая теорема.

Теорема 18. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.

Рис. 107

Доказательство. PA1A2…An — правильная пирамида, a — длина её апофемы (рис. 107).

Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, у которых основаниями являются стороны правильного n-угольника A1A2…An, а высоты равны апофеме пирамиды, т. е.

РE1 = РE2 = PE3 = … = PEn = a.

Тогда

Sбок = S△PA1A2 + S△PA2A3 + … + S△PAnA1 =

= A1A2•PE1 + A2A3•PE2 + … + An A1•PEn =

= a•(A1A2 + A2A3 + … + AnA1) = P•a,

где Р — периметр основания пирамиды. Теорема доказана. ▼

Теорема 19. Если все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом ϕ и высота пересекает основание, то Sбок = .

Рис. 108

Доказательство. Пусть отрезок PO — высота пирамиды РA1A2A3…An, все боковые грани которой образуют с плоскостью основания углы, равные ϕ (рис. 108); отрезки PH1, PH2, …, PHn — высоты боковых граней. Тогда (по теореме о трёх перпендикулярах) OH1 ⟂ A1A2, OH2 ⟂ A2A3, …, OHn ⟂ AnA1. Значит,

∠ OH1P = ∠ OH2P = ∠ OH3P = …

… = ∠ OHnP = ϕ.

Так как точка О является центром круга, вписанного в основание пирамиды (почему?), то эта точка лежит внутри n-угольника A1A2A3…An. Поэтому n-угольник A1A2…An является объединением непересекающихся треугольников A1OA2, A2OA3, …, AnOA1. Эти треугольники являются ортогональными проекциями на плоскость основания пирамиды её соответствующих боковых граней. По теореме о площади ортогональной проекции многоугольника имеем:

S△ A1OA2 = S△ A1PA2•cos ϕ,

S△ A2OA3 = S△ A2PA3•cos ϕ,

…………………………….

S△ AnOA1 = S△ AnPA1•cos ϕ.

Сложив почленно эти равенства, получим Sосн = Sбок•cos ϕ, откуда Sбок = . Теорема доказана. ▼

Так как все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы (пусть величина этих углов равна ϕ, см. рис. 107), то для площади боковой поверхности и площади основания правильной пирамиды также справедлива формула

Sбок = .

14.5. Свойства параллельных сечений пирамиды

Если плоскость α параллельна основанию пирамиды и пересекает её, то в сечении пирамиды получается некоторый многоугольник (рис. 109).

Теорема 20. Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то: 1) боковые рёбра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части; 2) в сечении получается многоугольник, подобный основанию; 3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Доказательство. 1) Пусть сечением пирамиды PABCD плоскостью α, параллельной плоскости β её основания, является четырёхугольник A1B1C1D1 (см. рис. 109).

Рис. 109

Проведём высоту РО данной пирамиды и обозначим O1 = РО ∩ α.

Рассмотрим гомотетию с центром Р, при которой плоскость основания данной пирамиды отображается на параллельную ей плоскость α (при гомотетии плоскость, не проходящая через центр гомотетии, отображается на параллельную ей плоскость).

Так как при гомотетии её центр является неподвижной точкой, прямая, проходящая через центр гомотетии, отображается на себя, а пересечение двух фигур — на пересечение их образов, то гомотетия отображает основание ABCD пирамиды на её параллельное сечение — многоугольник А1В1С1D1, при этом вершины А, В, С, D основания пирамиды — на вершины соответственно A1, B1, C1, D1, а точку O — на точку O1 (почему?).

Учитывая, что отношение длин гомотетичных отрезков равно коэффициенту гомотетии, получаем:

= = = = = k, (*)

где k — коэффициент гомотетии . Это означает, что параллельное сечение пирамиды делит её рёбра и высоту на пропорциональные части. А поскольку гомотетия является подобием, то многоугольник A1B1C1D1, являющийся параллельным сечением пирамиды, подобен её основанию ABCD.

Вследствие того, что отношение площадей гомотетичных фигур равно квадрату коэффициента гомотетии, а k = РO1 : РО, где РO1 и РО — расстояния соответственно параллельного сечения и основания пирамиды от её вершины, то

SA1B1C1D1 : SABCD = k2 = : PO2.

Теорема доказана. ▼

Следствие. Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая её, отсекает пирамиду, подобную данной.

14.6. Усечённая пирамида

Плоскость α, параллельная основанию пирамиды PABCD и пересекающая её, делит эту пирамиду на два многогранника: пирамиду РA1B1C1D1 и многогранник ABCDA1B1C1D1 (см. рис. 109).

Рис. 110

Многогранник ABCDA1B1C1D1 (рис. 110) называют усечённой пирамидой. Грани ABCD и A1B1C1D1, лежащие в параллельных плоскостях, называются соответственно нижним и верхним основаниями усечённой пирамиды, остальные грани — её боковыми гранями. Так как нижнее и верхнее основания усечённой пирамиды гомотетичны (т. 20), то все её боковые грани — трапеции.

Таким образом, усечённой пирамидой называется часть полной пирамиды, заключённая между её основанием и параллельным ему сечением.

У n-угольной усечённой пирамиды 2n вершин, 3n рёбер, (n + 2) грани и n(n – 3) диагоналей.

Высотой усечённой пирамиды называется перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого. Длину этого перпендикуляра также называют высотой усечённой пирамиды. На рисунке 110 отрезки О1О, B1K — высоты усечённой пирамиды.

Рис. 111

Усечённая пирамида называется правильной, если она получена из правильной пирамиды (рис. 111).

Из теоремы 20 следует, что основания правильной усечённой пирамиды — подобные правильные многоугольники, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции.

Высоты этих трапеций, соединяющие середины их оснований, называются апофемами усечённой пирамиды. Все её апофемы равны между собой.

Отрезок OO1, соединяющий центры оснований правильной усечённой пирамиды, является её высотой.

Площадью боковой поверхности усечённой пирамиды называется сумма площадей всех её боковых граней.

Для правильной усечённой пирамиды имеет место

Теорема 21. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров её оснований на апофему.

Для доказательства теоремы достаточно площадь одной из боковых граней пирамиды умножить на их число. В результате получим формулу Sбок = •h, где Р1, P2 — периметры нижнего и верхнего оснований усечённой пирамиды, h — её апофема.

Проведите доказательство теоремы самостоятельно.

Полная поверхность усечённой пирамиды — это объединение её оснований и боковой поверхности, поэтому для усечённой пирамиды

Sполн = Sбок + S1 + S2,

где S1 и S2 — площади большего и меньшего оснований этой пирамиды.

Для усечённой пирамиды, у которой все двугранные углы при рёбрах большего основания равны ϕ, справедливо: Sбок = . (Для вывода этой формулы достаточно учесть следующий факт: если R и r — радиусы окружностей, вписанных соответственно в большее и меньшее основания данной пирамиды, то S1 = 0,5•P1•R, S2 = 0,5•P2•r, cos ϕ = , где h — высота боковой грани этой пирамиды.)

14.7. Объём пирамиды

Лемма. Две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики.

Доказательство. Пусть пирамиды РАВС и P1A1B1C1 имеют высоты, равные H, и равновеликие основания с площадью S; их объёмы — соответственно V1 и V2. Докажем, что V1 = V2.

Расположим пирамиды РАВС и P1A1B1C1 так, чтобы их основания лежали в одной плоскости, а сами пирамиды были расположены по одну сторону от этой плоскости (рис. 112). Тогда любая плоскость, параллельная плоскости оснований и пересекающая первую пирамиду, пересекает и вторую, причём по теореме о параллельных сечениях пирамиды площади этих сечений равны. Следовательно, на основании принципа Кавальери равны и объёмы этих пирамид. Лемма доказана. ▼

Рис. 112

Теорема 22. Объём любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Рис. 113

Доказательство. Пусть А1AВC — данная треугольная пирамида с вершиной A1 и основанием ABC (рис. 113). Дополним эту пирамиду до треугольной призмы ABCA1B1C1 с тем же основанием, одним из боковых рёбер которой является боковое ребро АA1 данной пирамиды. Это означает, что высота призмы равна высоте данной пирамиды.

Призма АВCA1B1C1 является объединением трёх треугольных пирамид с общей вершиной A1: A1ABC, A1BB1C1 и A1BCC1. Основания BB1C1 и BCC1 пирамид A1BB1C1 и A1BCC1 равны, а высота у них общая. Значит, по лемме эти пирамиды имеют равные объёмы.

Будем считать точку В вершиной пирамиды A1BB1C1, a △ A1B1C1 — её основанием. Тогда эта пирамида равновелика пирамиде А1AВС, так как у них общая высота, а основания АВС и A1B1C1 равновелики (как основания призмы). Таким образом, призма ABCA1B1C1 является объединением трёх равновеликих пирамид, одной из которых является данная пирамида A1ABC. Это означает, что объём V пирамиды A1АВС составляет одну треть объёма призмы ABCA1B1C1, т. е. V = Socн•Н, где Н — длина высоты призмы. Но построенная призма и данная пирамида имеют общую высоту, длина которой равна Н, следовательно, объём треугольной пирамиды вычисляется по формуле

V = Sосн•H,

где Н — длина высоты данной пирамиды. Теорема доказана. ▼

Рис. 114

На рисунке 114 изображены треугольная призма ABCDEF и составляющие её три равновеликие треугольные пирамиды ABDF, ABCF и BDEF.

Рис. 115

Для вычисления объёма n-угольной пирамиды PA1A2…An (рис. 115) разобьём её основание A1A2…An диагоналями A1A3, A1A4, …, A1An – 1 на треугольники с общей вершиной A1. Тогда данная пирамида разбивается в объединение пирамид PA1A2A3, PA1A3A4, …, PA1An – 1An с общей вершиной Р и общей высотой, которая равна высоте данной пирамиды. Основаниями этих пирамид являются треугольники разбиения основания данной пирамиды. Это означает (свойство 2 объёмов), что объём V пирамиды PA1A2…An равен сумме объёмов V1, V2, …, Vn – 2 треугольных пирамид соответственно PA1A2A3, PA1A3A4, …, PA1An – 1An.

Пусть длина высоты пирамиды равна Н, площадь её основания — S, а площади треугольников разбиения этого основания равны S1, S2, …, Sn – 2. Это означает, что S1 + S2 + … + Sn – 2 = S. Тогда получаем:

V = V1 + V2 + … + Vn – 2 = H(S1 + S2 + … + Sn – 2) = S•H.

Таким образом, объём любой пирамиды вычисляется по формуле

V = Sосн•H,

где Sосн — площадь основания, Н — длина высоты пирамиды.

Итак, доказана теорема.

Теорема 23. Объём любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. ▼

14.8. Об объёме тетраэдра

У тетраэдра за основание можно принять любую его грань, на каждую из которых можно провести высоту тетраэдра из вершины, противоположной этой грани. Поэтому для объёма V одного и того же тетраэдра имеют место соотношения

V = S1•h1 = S2•h2 = S3•h3 = S4•h4,

где Sk и hk (k = 1, 2, 3, 4) — площадь грани и длина опущенной на неё высоты. Эти соотношения часто используют при решении задач.

Заметим, что не в любом тетраэдре все четыре высоты пересекаются в одной точке (для сравнения — все три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке). Тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке, называется ортоцентрическим.

Интересен также тетраэдр (рис. 116, а), все грани которого равны. Такой тетраэдр называется равногранным. Его развёрткой является остроугольный треугольник (рис. 116, б).

Докажите самостоятельно, что в равногранном тетраэдре:

—скрещивающиеся рёбра попарно равны;

—все высоты равны;

—сумма плоских углов трёхгранного угла при каждой вершине тетраэдра равна 180°;

—двугранные углы при скрещивающихся рёбрах тетраэдра равны.

Рис. 116

Рис. 117

Не менее интересен следующий факт. Пусть дан тетраэдр A1C1BD. Проведём через каждое его ребро плоскость, параллельную скрещивающемуся с ним ребру. Проведённые шесть плоскостей при пересечении образуют некоторый параллелепипед АВСDA1В1C1D1 (рис. 117), параллельные грани ABCD и A1B1C1D1 которого содержат скрещивающиеся рёбра А1C1 и BD данного тетраэдра. Тогда расстояние между основаниями АВСD и А1В1С1D1 полученного параллелепипеда равно длине его высоты и равно расстоянию между скрещивающимися рёбрами А1C1 и BD данного тетраэдра.

Этот параллелепипед можно разбить на пять тетраэдров — данный тетраэдр A1С1ВD и ещё четыре тетраэдра: A1ABD; ВВ1A1C1; C1CBD; DD1A1C1. Объём каждого из четырёх последних тетраэдров равен одной трети высоты h параллелепипеда, умноженной на половину площади его основания ABCD, т. е. шестой части объёма V полученного параллелепипеда.

Таким образом,

где ϕ — угол между диагоналями АС и BD параллелограмма ABCD. А так как AC || A1C1, то величина угла между скрещивающимися диагоналями A1С1 и BD тетраэдра А1С1BD также равна ϕ.

Мы получили: объём тетраэдра равен одной шестой произведения длин любых двух его скрещивающихся рёбер, расстояния между ними и синуса угла между скрещивающимися прямыми, содержащими эти рёбра.

Отметим ещё несколько очевидных и менее очевидных свойств тетраэдров, связанных с их объёмами.

1. Объёмы тетраэдров с равными основаниями относятся как их высоты, опущенные на эти основания.

Рис. 118

2. Объёмы тетраэдров с равными высотами относятся как площади их оснований.

3. Объёмы тетраэдров, имеющих равные трёхгранные углы, относятся, как произведения длин рёбер, образующих эти углы.

Используя рисунок 118, вы сможете легко доказать третье утверждение.

14.9. Объём усечённой пирамиды

Теорема 24. Объём усечённой пирамиды, у которой площади оснований равны S1 и S2, а высота — Н, вычисляется по формуле

V = H(S1 + + S2).

Рис. 119

Доказательство. Пусть дана усечённая пирамида (рис. 119), у которой S1 > S2, а высота OO1 = H. Дополним эту пирамиду до полной пирамиды с вершиной Р. Объём V данной усечённой пирамиды равен разности объёмов полной и дополнительной пирамид.

Если длина высоты PO1 дополнительной пирамиды равна x, то высота PO полной пирамиды равна H + x.

Выразим х через S1, S2 и Н. По теореме 20 (o площадях параллельных сечений пирамиды) имеем

S1 : S2 = (H + x)2 : x2 ⇒ : = (H + x) : x ⇒

⇒

x = .

Поэтому для объёма V усечённой пирамиды находим

что и требовалось доказать. ▼

Источник

Достаточно знать длину бокового ребра пирамиды, количество сторон многоугольника, лежащего в основании пирамиды, а также длину стороны основания (сторону многоугольника).

В основании правильной пирамиды всегда лежит правильный многоугольник. Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность.

Есть такая формула:

a — длина стороны n-угольника (для правильного многоугольника).

L — длина окружности, описывающей этот многоугольник.

n — это количество сторон этого многоугольника

Если выразить эту формулу наоборот, то можно по стороне многоугольника найти длину окружности.

L=a*π/sin(180/n)

Зная длину окружности, можно найти радиус этой окружности:

L=2πR

R=L/(2π)

Подставляя L из первой формулы, получаем:

R = L/(2π) = a*π/(2π*sin(180/n)) = a/(2sin(180/n))

Теперь если приглядитесь к рисунку, то увидите, что радиус описанной окружности является также и катетом в прямоугольном треугольнике (игреком «y» на левой картинке).

А вертикальное ребро пирамиды это гипотенуза этого прямоугольного треугольника.

А искомая нам высота это второй катет этого прямоугольного треугольника.

По теореме Пифагора:

X²=Y²+h²

h²=X²-Y²

h=√(X²-Y²)

X нам известен — это длина боковой стороны пирамиды.

Y тоже известен — это расстояние от одного из углов основания пирамиды до центра пирамиды, и это же радиус описанной вокруг этого многоугольника окружности.

Y=R, а R равен: R=a/(2sin(180/n))

Итак подведём итог:

h=√(X²-Y²) = √(X²-R²) = √(X²-(a/(2sin(180/n)))²)

X — размер боковой стороны (ребра) пирамиды.

n — количество сторон многоугольника в основании.

a — размер стороны этого многоугольника в основании.

Более удобно эту формулу я отразил на рисунке.

Источник

Многогранник, одна грань которого является (n)-угольником, а остальные грани — треугольники с общей вершиной, называется пирамидой, (n)-угольник называется основанием пирамиды, а треугольники — боковыми гранями.

Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.

Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами пирамиды.

В зависимости от количества сторон основания пирамиды могут быть треугольными, четырёхугольными, пятиугольными и т. д.

Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.

Важно знать, где на плоскости основания находится проекция вершины пирамиды, она может быть в центре основания, на стороне основания, за пределами многоугольника основания. Решение задачи в большей степени зависит от расположения этой точки.

Чтобы нарисовать пирамиду, нужно соблюдать определённый порядок:

1. первым рисуется основание,

2. по условию задачи находится проекция вершины на плоскости основания,

3. вертикально проводится высота,

4. проводятся рёбра.

На рисунке изображена четырёхугольная пирамида (SABCD)

(первой пишут букву вершины).

Основание — четырёхугольник (ABCD).

Вершина проецируется в точку пересечения диагоналей (O) — основание высоты или проекция вершины.

(SA), (SB), (SC), (SD) — рёбра пирамиды,

(AB), (BC), (CD), (DA) — стороны основания.

В курсе средней школы в основном есть задачи, в которых даны:

— правильная пирамида (вершина проецируется в центр основания);
— пирамида, вершина которой проецируется в центр описанной окружности;
— пирамида, вершина которой проецируется в центр вписанной окружности;
— пирамида, высота которой совпадает с боковым ребром;
— пирамида, высота которой также является высотой боковой грани.

Углы, которые образованы боковой гранью и основанием пирамиды, называются двугранными углами при основании пирамиды.

Двугранный угол между боковой гранью (SCD) и гранью основания равен линейному углу

∠

(OES). Этот угол образован отрезками (OE) и (SE), лежащими в этих гранях и перпендикулярных их общей прямой (CD). То есть (OE)

⊥CD

и (SE)

⊥CD

Чтобы определить этот угол, часто нужно использовать теорему о трёх перпендикулярах.

Углы, которые образованы боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, называются углами между боковым ребром и плоскостью основания.

На рисунке

∠

(OCS).

Угол, который образован двумя боковыми гранями, называется двугранным углом при боковом ребре пирамиды.

Угол, который образован двумя боковыми рёбрами одной грани пирамиды, называется углом при вершине пирамиды.

Основные формулы пирамиды

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней пирамиды:

S=S1+S2+S3+…

(Некоторые формулы годятся только для определённых видов пирамиды.)

Площадь полной поверхности

Sп.п.=S+Sоснования

Объём пирамиды (V =)

13Sоснования

(H), где (H) — высота пирамиды.

Формула объёма используется для пирамид любого вида.

Источники:

Источник

В представленной
на рисунке 8.5 пирамиде, основание и
грани которой являются плоскостями
общего положения, требуется
определить ее высоту ( расстояние от
вершины с проекциями s‘,
s до основания
с проекциями a‘b‘c‘d‘,
abcd ) и
двугранный угол между гранями с проекциями
a‘ b‘
s‘, abs
и a‘ d‘
s‘, ads.

Указанные
задачи можно решить способом перемены
плоскостей проекций.

Определение
расстояния от вершины до основания
выполнено
на рисунке 8.6. При этом плоскость основания
ABCD
задана
проекциями a‘,
а точки и
d‘c‘,
dc
отрезка. Новая
плоскость проекций T(T
H)
выбрана перпендикулярной горизонтали
с проекциями a‘m‘,
am основания
(ось H/T
am)
и соответственно
плоскости основания. На плоскость
проекций T
часть основания
пирамиды проецируется в отрезок d_tc_t,
расстояние
от которого до
проекции s,
вершины и
соответствует искомой высоте
пирамиды.

Рис.8.5
Рис.8.6

Определение
угла между гранями. Двугранный
угол измеряют линейным углом,
полученным в пересечении граней
двугранного угла плоскостью,
перпендикулярной
к обеим граням двугранного
угла φ,
а следовательно,
и к линии их пересечения, т.е. к
ребру двугранного угла. Определение
угла φ
между гранями пирамиды
выполнено на рисунке 8.7, где
двумя переменами плоскостей проекций
ребро с проекциями a‘s‘,
as
двугранного
угла, являющегося отрезком
общего положения, переведено
в проецирующее положение
относительно плоскости проекций
R.
Полученная
на плоскости проекций
R
проекция d_rs_r
≡
a_rb_rдвугранного
угла выражает его линейный угол.

Рис.8.7

При преобразовании
система плоскостей проекций V,
H заменена
вначале системой

H,
Q (Q

H ), в
которой плоскость Q
выбрана
параллельной ребру AS
(ось H
/Q
║ as).

Затем
система плоскостей проекций H,
Q
заменена на
систему Q, R
(R
Q
), в которой плоскость проекций R
выбрана перпендикулярной ребру
AS ( ось Q/R

a_qs_q).

8.4. Пересечение многогранников плоскостью

При
пересечении призмы или пирамиды
плоскостью в сечении получается
плоская фигура, ограниченная линиями
пересечения
секущей плоскости с гранями призмы или
пирамиды.

Простейший
пример конструирования детали
пересечением исходной заготовки в
виде прямоугольной трубы плоскостью
приведен на рисунке 8.8. В этом случае
деталь – волновод изготавливают,
отрезая часть заготовки по плоскости
R
(R_v).
Другой пример
конструирования устойчивой подставки
в виде
усеченной пирамиды показан на рисунке
8.9. Наклонная площадка
ABCD
образована
срезом верхней части пирамиды
фронтально-проецирующей
плоскостью S
(S_v).
Фронтальные
проекции a‘, b‘,
c‘, d‘
точек находятся на фронтальном следе
S_v
плоскости, а
фронтальная проекция площадки ABCD
совпадает
со следом S_v.
Профильная a«b«c«d»
и горизонтальная
abcd
проекции
площадки построены по проекциям
указанных точек на проекциях соответствующих
ребер.

Рис.
8.8

Построение
натуральной величины
сечения пирамиды плоскостью. Во
многих случаях требуется построить
натуральный или истинный
вид сечения тела плоскостью. На
рисунке 8.9 для этой цели вверху слева
применен способ перемены плоскостей
проекций. В качестве
дополнительной плоскости принята
плоскость T,
параллельная плоскости S
и перпен-дикулярная плоскости V.
Натуральный вид
площадки – фигуры сечения a_tb_tc_td_t.
Другой
ва-риант построения натурального вида
наклонной площадки
ABCD
показан на
рисунке 8.9 справа внизу – A₀B₀C₀D₀.
Для построения использованы новые
координатные оси x₁
и у_1,
лежащие в
плоскости S.
Ось х₁ параллельна
плоскости V,
ось у₁ перпендикулярна
плоскости V.

Рис.
8.9

Координаты
на оси х₁
точек A₀,
B₀,
C₀,
D₀
равны
координатам
по оси x₁
фронтальных
проекций a‘,
b‘,
c‘,
d‘
этих точек.
Координаты х₁
точек с₀,
с’ по
оси х₁
равны нулю.
Координаты y_B,
у_D
по оси у₁ точек
B₀,
D₀
равны
координатам по этой оси (параллельной
оси у)
горизонтальных
проекций b,
d.
Координаты
по оси у₁
точек А,
С равны нулю.
По указанным координатам
на осях x₁, у₁
строят
натуральную величину A₀B₀C₀D_aнаклонной площадки ABCD.

Пирамида
с вырезом. Как
пример построения сечений несколькими
плоскостями рассмотрим (рис. 8.10) построение
пирамиды с вырезом,
который образован тремя плоскостями –
горизонтальной T(T_v),
фронтально-проецирующей
R
(R_v)
и профильной
Q
(Q_v).
Горизонтальная
плоскость T
(T_v)
пересекает
боковую поверхность пирамиды по
пятиугольнику с горизонтальной
проекцией k–l–g–f–4–k,
стороны
которого параллельны
проекциям сторон основания пирамиды.
Фронтально-проецирующая
плоскость R
(R_v)
в пределах
выреза пересекает боковую
поверхность пирамиды по ломаной линии
с горизонтальной
проекцией 3–8–9–10–2
и
с профильной
проекцией 3″8″9″10″2″.
Профильная плоскость Q
(Q_v)
пересекает
в пределах
выреза боковую по-