Как найти высоту ромба если известно основание

A parallelogram is a flat shape with opposite sides that are parallel and equal in length. A rhombus is a parallelogram with four equal (congruent) sides, such as a diamond. Squares and rectangles are also types of parallelograms. You can work out the height of a rhombus if you know other values, such as the area, base or diagonals.

Properties of a Rhombus

No matter how large a rhombus is, certain rules always apply. All its sides are equal, its opposite angles are equal and its two diagonals are perpendicular (meaning they bisect each other at an angle of 90 degrees). The height of a rhombus (also called its altitude) is the shortest perpendicular distance from its base to its opposite side. The base of a rhombus can be any of its four sides, depending on how it is positioned.

Finding Height from Area and Base

The formula for the height of a rhombus is height = area ÷ base. For example, if you know the area of a rhombus is 64 cm2 and the base is 8 cm, you work out 64 ÷ 8 = 8. The height of the rhombus is 8 cm. Remember, the base is one of the sides and they are equal in length, so if you know the length of one of the sides, you know the length of them all.

The same formula applies regardless of the size of the rhombus or the units of measurement. For example, say you have a rhombus with an area of 1000 inches and a base of 20 inches. Work out 1000 ÷ 20 = 50. The height of the rhombus is 50 inches.

Finding Height from Diagonals

If you know the diagonals and base of a rhombus but not the area, use the formula area = (d1 x d2) ÷ 2. For example, if you know d1 is 4 cm and d2 is 6 cm, you work out (4 x 6) ÷ 2 = 12. You know the area is 12 cm2. If the base is 2 cm, work out 12 ÷ 2 = 6. The height of the rhombus is 6 cm.

Высот у ромба 4 , но они равны между собой , если рассмотреть все треугольники , в которые входят эти высоты. Высоту ромба можно найти по тем формулам , исходя из того , какие данные изначально даны в задаче .

1 ) Допустим , дана площадь ромба S и его сторона а , тогда высота ромба h = S / a ,

2 ) Если даны диагонали ромба d1 и d2 , и сторона ромба а :,

h = (d1 * d2 ) / a ,

3 ) Если дана сторона а и угол между смежными сторонами А :

h = a * a * sin A / a = a * sin A.

Возможны другие варианты нахождения высоты ромба в зависимости от того , что будет дано в условии задачи. Но одними из основных данных параметров ромба являются а (сторона ромба ) , диагонали d1 , d2 , A (sin A).

Ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны и противоположные стороны параллельны. Это условие упрощает формулы для определения высоты — перпендикуляра, опущенного из угла на одну из сторон. В четырёхугольнике из каждого угла можно опустить высоты на две стороны. Рассмотрим, как находить высоты ромба, как они соотносятся друг с другом.

Как находить высоту ромба

Четырёхугольники — это такие фигуры, у которых могут изменяться углы при неизменных длинах сторон. Поэтому, в отличие от треугольника, мало знать длины сторон четырёхугольника, необходимо указывать ещё и размеры углов или высоту. Например, если углы ромба равны 90°, то получится квадрат. В этом случае высота совпадает со стороной. Рассмотрим, как найти высоту ромба при углах, отличных от прямых.

Определяем величину двух высот ромба, опущенных из одного угла

Имеем ромб ABCD, у которого AB//CD, BC//AD, АВ = ВС = СD = DА = а. Высотой h называется перпендикуляр, опущенный из угла на противоположную сторону. Опустим высоту АН на сторону ВС, а другую высоту АН1 опустим из того же угла на сторону DС.

• Тогда высота АН = AB × sin∟B;
• Высота AH1 = AD × sin∟D.

Одно из свойств ромба — равенство противоположных углов, т.е. ∟B = ∟D. Поскольку АВ = AD (все стороны ромба все равны между собой), то высота АН = АН1. Аналогично можно доказать, что две высоты, опущенные из любого угла, равны между собой.

Как соотносятся остальные высоты ромба между собой

Поскольку противоположные стороны параллельны, то сумма углов, примыкающих к одной стороне, равна 180°. Следовательно, синусы всех четырёх углов равны между собой:

• sin∟D = sin(180° — ∟D) = sin∟С = sin∟А = sin∟В.

Следовательно, все высоты, опущенные из любого угла ромба, равны между собой, а сторона, угол и высота связаны между собой жёстким соотношением: h = a × sin∟A, где а — длина любой стороны, ∟A — любой угол ромба.

Геометрическая фигура ромб представляет собой вариацию параллелограмма, имеющего равные стороны. Его высотой является часть прямой, проходящая через вершину фигуры и образующая при пересечении с противолежащей стороной угол 90°. Частным случаем ромба является квадрат. Знание свойств ромба, а также верная графическая интерпретация условия задачи позволяют правильно определить высоту фигуры, используя один из допустимых способов.

Нахождение высоты ромба на основании данных о площади фигуры

Перед вами находится ромб. Как известно, для нахождения его площади необходимо перемножить величину стороны на числовое значение высоты, т.е. S = k * H, где

• k – значение, определяющее длину стороны фигуры,
• H – числовое значение, соответствующее длине высоты ромба.

Данное соотношение позволяет определить высоту фигуры как: H = S/ k
(S – площадь ромба, известная по условию задачи или вычисленная ранее, например как половина произведения диагоналей фигуры).

Нахождение высоты ромба через вписанную окружность

Вне зависимости от длины сторон и величины углов ромба в него можно вписать окружность. Центр данной геометрической фигуры будет совпадать с точкой пересечения диагоналей равностороннего параллелограмма. Информация о величине радиуса такой окружности поможет определить высоту ромба, т.к. r = H/2, где:

• r – радиус вписанного в ромб круга,
• H – искомая высота фигуры.

Из данного соотношения следует, что высота равнобокого параллелограмма соответствует удвоенному радиусу вписанного в этот параллелограмм круга – H = 2r
.

Нахождение высоты ромба через величины углов фигуры

Перед вами ромб MNKP, сторона которого MN = NK = KP = PM = m. Через вершину M проведены 2 прямые, каждая из которых образует с противолежащей стороной (NK и KP) перпендикуляр – высоту. Обозначим их как MH и MH1 соответственно. Рассмотрите треугольник MNH. Он прямоугольный, а значит, зная ∠N и определение тригонометрических функций, вы можете определить и его сторону-высоту ромба: sinN = MH/MN ⇒ MH = MN * sinN, где:

• sinN – синус угла при вершине равностороннего параллелограмма (ромба),
• MN (m) – величина стороны заданного ромба.

Т.к. углы ромба, лежащие напротив друг друга, равны между собой, то и величина второго перпендикуляра, опущенного из вершины M, также определяется как произведение MN на sinN.

H = m * sinN
– высоту такой фигуры как ромб можно определить путем перемножения числового значения длины его стороны на синус угла при его вершине.

Определив длину одной высоты ромба, вы получаете информацию о величине оставшихся трех перпендикуляров фигуры. Данный вывод следует из того, что у ромба все высоты равны между собой.

Зная диагонали, найти высоту ромба легко. В этом нам поможет теорема Пифагора.
И хоть она касается прямоугольных треугольников, в ромбе они тоже есть — их образует пересечение двух диагоналей d1 и d2:

Вообразим, что диагональ 1 равна 30 сантиметрам, а диагональ 2 — 40 см.

Итак, наши действия:

Подсчитываем величину стороны по теореме Пифагора.
Сторона BC — это гипотенуза (потому что лежит напротив тупого угла) треугольника BXD (X — это пересечение диагоналей d1 и d2). А значит размер этой стороны в квадрате равен сумме квадратов сторон BX и XC. Их размер нам тоже известен (диагонали ромба пересечением делятся пополам) — это 20 и 15 сантиметров. Выходит, что длина стороны BC равняется корню от 20 в квадрате и 15 в квадрате. Сумма квадратов диагоналей равняется 625, а если извлечь это число из корня, получаем размер катета, равный 25 сантиметрам.

Вычисляем площадь ромба при помощи двух диагоналей.
Для этого умножаем d1 на d2 и делим результат на 2. Получается: 30 умножить на 40 (= 1200) и поделить на 2 — выходит 600 см кв. — это и есть площадь ромба.

Теперь вычисляем высоту, зная длину стороны и площадь ромба.
Для этого нужно площадь поделить на длину катета (это и есть формула вычисления высоты ромба): 1200 делим на 25 — выходит 48 сантиметров. Это окончательный ответ.

Как найти высоту ромба, если известна площадь и периметр (какая формула)?

Ознакомьтесь со всеми формулами расчета площади ромба:

Чтобы узнать высоту, нам нужна самая первая формула (Площадь = Высота умножить на Длину стороны).

Допустим, что периметр равен 124 см, а площадь — 155 см кв.

Нам играет на руку то, что у ромба все стороны одинаковые, потому его периметр — это 4 умножить на длину одного катета.

1. Найдем длину стороны ромба через известный периметр. Для этого значение периметра (124) делим на 4, и получаем значение 31 сантиметр — длина катета.
2. Подсчитываем высоту через формулу площади.
   Делим площадь (155 см кв.) на размер катета (31 см) и получаем 5 сантиметров — это размер высоты данной геометрической фигуры.
   

Как найти высоту ромба, если известна сторона и угол?

Задача кажется сложной, но это не так. Представим, что размер катета ромба равен корню из трех, а угол — 90 градусам.

Чтобы посчитать размер высоты, используем формулу площади ромба (сторона в квадрате умножить на синус угла). Чтобы узнать синус любого градуса, воспользуйтесь в моем ответе. Синус 90 градусов равняется 1, потому найти высоту будет очень просто. Получается, что площадь равна квадрату длины стороны (3) умножить на синус 90 гр. (1), что в итоге дает ответ- 3 см кв.

А потом делим полученную площадь на размер катета: 3 поделить на корень из 3, и получаем высоту ромба —
√3.

Как посчитать высоту ромба, если известна сторона и диагональ?

В этой задаче нужно использовать прямоугольный треугольник, который образован пересечением диагоналей.

Допустим, что сторона равна 10 см, а диагональ — 12 см.

Наши действия:

Находим размер половины второй диагонали при помощи теоремы Пифагора.
Гипотенуза в нашем случае — это сторона, потому величина половины диагонали будет равна разнице квадрата катета (10 в квадрате) и квадрата половины известной диагонали (6 в квадрате). Выходит, что нужно от 100 отнять 36 — имеем 64 сантиметра. Добываем корень из этого числа и получаем длину половины второй диагонали — 8 см. А полная длина равна 16 сантиметрам.

Подсчитываем площадь ромба при помощи двух диагоналей.
Умножаем длину первой диагонали (12 см) на длину второй (16 см) и делим это на 2 — получаем 96 см кв. (это площадь ромба).

Вычисляем высоту, зная размер стороны и площадь.
Для этого 96 поделите на 10 — выходит 9,6 сантиметров — это окончательный ответ.

Высота ромба онлайн

1. Высота ромба через сторону и площадь

Пусть задан ромб (Рис.1).

Формула площади ромба через сторону и высоту имеет следующий вид:

Откуда легко вывести формулу высоты ромба через сторону и площадь:

2. Высота ромба через сторону и угол

Рассмотрим ромб со стороной a и углом α между сторонами (Рис.2). Выведем формулу вычисления высоты ромба через сторону и угол.

Проведем высоту AH. Для прямоугольного треугольника AHB применим теорему синусов:

Откуда получим формулу вычисления высоты ромба через сторону и угол между сторонами:

Заметим, что формула (2) справедлива для любого угла ромба, как для острого, так и для тупого угла. Действительно. Из четвертого свойста ромба (см. статью Ромб) следует, что сумма соседних углов ромба равна 180°. Тогда для угла C можно записать: (small angle C=180°-alpha.) Следовательно (small sin angle C=sin(180°-alpha)=sin alpha.) Получили, что синусы углов ромба равны. Поэтому в качестве угла между сторонами ромба можно выбрать любой угол ромба.

3. Высота ромба через диагонали

Выведем формулу вычисления высоты ромба через диагонали. Плошадь ромба через диагонали вычисляется формулой (см. статью Площадь ромба):

а через сторону и высоту, формулой

Из формул (3) и (4) следует:

Выразим сторону a ромба через диагонали. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения (свойства 5 и 6 ромба), то диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника (Рис.3).

Применим к прямоугольному треугольнику AOB теорему Пифагора:

Откуда:

Подставим (7) в (5) и найдем h:

4. Высота ромба через угол и противолежащую диагональ

Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и противолежащая диагональ d=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления высоты ромба.

Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено выше, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника AOB:

Откуда получим:

С другой стороны (см. параграф 2):

Подставим (9) в (10):

Применяя формулу двойного угла для (small sin alpha, ) имеем: (small sin alpha=2 cdot sin frac{alpha}{2} cdot cos frac{alpha}{2} . ) Подставляя это равенство в формулу (11), получим формулу высоты ромба через угол и противолежащую диагональ:

5. Высота ромба через угол и диагональ из данного угла

Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и диагональ из данного угла d=BD (Рис.5). Выведем формулу вычисления высоты ромба.

Проведем другой диагональ AC. Как было отмечено в выше, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Для прямоугольного треугольника AOB, имеем:

Учитывая, что ( small BO=frac{large d}{large 2}) и ( small angle ABO=frac{large alpha}{large 2}), формулу (13) можно записать так:

или

Подставим (14) в (2):

или, учитывая что (small sin alpha=2 cdot sin frac{alpha}{2} cdot cos frac{alpha}{2} , ) получим:

6. Высота ромба через радиус вписанной в ромб окружности

Покажем, что высота ромба через радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

В статье Площадь ромба показали, что площадь ромба через сторону и высоту вычисляется формулой

а площадь ромба через сторону и радиус вписанной окружности − формулой:

Тогда из формул (16) и (17) следует:

или:

Содержание:

• Формулы площади ромба:
• Формула периметра ромба:

Ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны.
Ромб можно рассматривать как частный случай параллелограмма, у которого или две смежные стороны равны, или диагонали
взаимно перпендикулярны, или диагональ делит угол пополам. Ромб с прямыми углами называется квадратом.

Формулы площади ромба:

Площадь геометрической фигуры — часть поверхности, ограниченная замкнутым контуром данной фигуры.
Величина площади ромба выражается числом заключающихся в него квадратных единиц.

1) Площадь ромба равна произведению длины его стороны на высоту (a, h).

2) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

См. также: Программа для расчета площади ромба.

Формула периметра ромба:

Периметр геометрической фигуры — суммарная длина границ плоской геометрической фигуры.
Периметр имеет ту же размерность величин, что и длина.

1) Периметр ромба равен сумме 4-х длин его сторон или произведению
длины любой его стороны на четыре (так как у ромба длины всех сторон равны).

См. также: Программа для расчета периметра ромба.