Как найти высоту треугольника зная его вершины - AutoPluse.ru

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

Найти уравнение стороны треугольника.
Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Пример.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

Решение:

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

$[left{ begin{array}{l} - 3 = k cdot 5 + b; \ 8 = k cdot 1 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - frac{{11}}{4};b = frac{{43}}{4}.]$

Таким образом, уравнение прямой BC —

$[y = - frac{{11}}{4}x + frac{{43}}{4}.]$

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

$[k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{{ - frac{{11}}{4}}} = frac{4}{{11}}.]$

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

$[y = frac{4}{{11}}x + b.]$

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

$[2 = frac{4}{{11}} cdot ( - 7) + b, Rightarrow b = frac{{50}}{{11}}.]$

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

$[y = frac{4}{{11}}x + frac{{50}}{{11}}.]$

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

$[left{ begin{array}{l} 2 = k cdot ( - 7) + b; \ - 3 = k cdot 5 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - frac{5}{{12}};b = - frac{{11}}{{12}}.]$

Уравнение прямой AB:

$[y = - frac{5}{{12}}x - frac{{11}}{{12}}.]$

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

$[k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{{ - frac{5}{{12}}}} = frac{{12}}{5} = 2,5.]$

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

$[left{ begin{array}{l} 2 = k cdot ( - 7) + b; \ 8 = k cdot 1 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = frac{3}{4};b = frac{{29}}{4}.]$

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

$[k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{{frac{3}{4}}} = - frac{4}{3}.]$

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

$[y = - frac{4}{3}x + b.]$

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

$[- 3 = - frac{4}{3} cdot 5 + b, Rightarrow b = frac{{11}}{3}.]$

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

$[y = - frac{4}{3}x + frac{{11}}{3}.]$

Источник

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника
- Высота в разностороннем треугольнике
- Высота в равнобедренном треугольнике
- Высота в прямоугольном треугольнике
- Высота в равностороннем треугольнике
Примеры задач

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Источник

Уравнение высоты треугольника по координатам его вершин

Чтобы составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин нужно:

Составить уравнение прямой, на которой лежит высота треугольника:

Так как высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону, то угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны записанной выше пропорцией.

Уравнение высоты треугольника по координатам его вершин

Составить уравнение высоты треугольника. Пример

Дан треугольник АВС. Вершины треугольника имеют следующие координаты:

На сторону АС опущена высота ВН.

Составить уравнение высоты ВН.

Пример на составление уравнения высоты треугольника

Шаг 1

Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и С.

Для этого воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом:

Подставим в это уравнение координаты точек А и С:

Уравнение стороны АС имеет вид:

Составить уравнение высоты треугольника. Шаг 1

Шаг 2

Так как прямые АС и ВН перпендикулярны, то, зная угловой коэффициент прямой АС, можем составить уравнение прямой ВН с угловым коэффициентом.

Итак, угловой коэффициент АС равен:

Отсюда, угловой коэффициент ВН будет равен:

Теперь можем записать уравнение высоты ВН:

Точка В(2,4) лежит на прямой ВН, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению прямой ВН:

Таким образом, уравнение высоты ВН имеет вид:

Составить уравнение высоты треугольника. Шаг 2

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

Найти уравнение стороны треугольника.
Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Источник

Как найти высоту треугольника, если даны координаты точек

Высотой в треугольнике называют отрезок прямой линии, соединяющий вершину фигуры с противолежащей стороной. Этот отрезок обязательно должен быть перпендикулярен стороне, поэтому из каждой вершины можно провести лишь одну высоту. Поскольку вершин в этой фигуре три, высот в нем столько же. Если треугольник задан координатами своих вершин, вычисление длины каждой из высот можно произвести, например, воспользовавшись формулой нахождения площади и рассчитав длины сторон.

Инструкция

Исходите в расчетах из того, что площадь треугольника равна половине произведения длины любой из его сторон на длину высоты, опущенной на эту сторону. Из этого определения вытекает, что для нахождения высоты нужно знать площадь фигуры и длину стороны.

Начните с вычисления длин сторон треугольника. Обозначьте координаты вершин фигуры так: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃). Тогда длину стороны AB вы сможете рассчитать по формуле AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Для двух других сторон эти формулы будут выглядеть так: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) и AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²). Например, для треугольника с координатами A(3,5,7), B(16,14,19) и C(1,2,13) длина стороны AB составит √((3-16)² + (5-14)² + (7-19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Длины сторон BC и AC, рассчитанные таким же способом, будут равны √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 и √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.

Знания длин трех сторон, полученных на предыдущем шагу, достаточно для вычисления площади треугольника (S) по формуле Герона: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Например, после подстановки в эту формулу значений, полученных из координат треугольника-образца из предыдущего шага, эта формула даст такое значение: S = ¼*√((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12) * (19,85+20,12-7)) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815.

Исходя из площади треугольника, рассчитанной на предыдущем шаге, и длин сторон, полученных на втором шаге, вычислите высоты для каждой из сторон. Так как площадь равна половине произведения высоты на длину стороны, к которой она проведена, для нахождения высоты делите удвоенную площадь на длину нужной стороны: H = 2*S/a. Для использованного выше примера высота, опущенная на сторону AB составит 2*68,815/16,09 ≈ 8,55, высота к стороне ВС будет иметь длину 2*68,815/20,12 ≈ 6,84, а для стороны АС эта величина будет равна 2*68,815/7 ≈ 19,66.

Источники:

даны точки найти площадь треугольника

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Здесь рассмотрены все возможные способы нахождения высоты треугольников разных типов. Высота
треугольника – отрезок, проведенный из вершины треугольника перпендикулярно к противоположной
стороне. В задачах нахождение высоты часто является промежуточным звеном для поиска других значений.
Она и является катетом в треугольнике, который сама же образует, и участвует во многих формулах,
например, для нахождения площади.

Высота разностороннего треугольника через площадь и длину
стороны
Высота разностороннего треугольника через длины всех
сторон
Высота разностороннего треугольника через длину прилежащей
стороны и синус угла
Высота разностороннего треугольника через стороны и радиус
описанной окружности
Высота равнобедренного треугольника через основание и
боковые стороны
Высота прямоугольного треугольника через длины отрезков,
образованных на гипотенузе
Высота прямоугольного треугольника через все стороны
треугольника
Высота равностороннего треугольника через сторону
треугольника

Через площадь и длину стороны разностороннего треугольника

Через площадь и длину высота находится по формуле:

h = 2S / a

где S – площадь треугольника, а – сторона треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Согласно этой формуле высота равна удвоенной площади, деленной на длину стороны, к которой она
проведена.

Пример. Найдите высоту разностороннего треугольника, проведенную к стороне а,
площадь которого равна 27 см, а длина стороны а составляет одну треть от площади. Решение: Найдем
сторону а. Так как известно, что она составляет треть от площади, а = 27 / 3 = 9 см.
Теперь воспользуемся формулой для нахождения высоты: h = 2S / a. Подставим
известные значения. h = 2 * 27 / 9 = 6 см. Ответ: 6 см

Через длины всех сторон разностороннего треугольника

Через длины всех сторон высота разностороннего треугольника ищется по формуле:

h = (2 √(p (p-a)(p-b)(p-c))) / 2
p = (a + b + c) / 2

где h – высота, а, b, c – стороны треугольника, p – полупериметр треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Полупериметр треугольника можно найти либо в два этапа через периметр, либо сразу по формуле. Этим
способом удобно пользоваться, когда треугольник разносторонний.

Пример. Периметр разностороннего треугольника равен 18 см. Длины сторон 6 см и 8 см. Найдите
высоту, проведенную к стороне а. Решение: P = a + b + c, значит с = P – a – b , то есть c = 18 – 8 – 6 = 4 см. Для
нахождения h будем использовать формулу h = (2 √(p (p-a)(p-b)(p-c))) / 2.
Сначала найдем полупериметр (p): p = p / 2 = 18 / 2 = 9 см. Подставим,
найденные значения в формулу высоты: h = (2 √(9 (9 — 6)(9 — 8)(9 — 4))) / 2 = √135 / 3 = 2,12 см

Через длину прилежащей стороны и синус угла разностороннего треугольника

Через длину прилежащей стороны и синус угла высота ищется по следующей формуле:

h = a * sin α

где а – длина стороны, sin α – синус прилежащей стороны.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В разностороннем треугольнике высота проведена к стороне AB. Угол ACH равен
30˚, а длина стороны AB 12 см. Найдите длину высоты CH в треугольнике ABC. По теореме о сумме углов
в треугольнике найдем угол САН. ∠САН = 180 – (∠АСН + ∠АНС). ∠САН = 180 – 90 – 30 = 60˚ sin 60º = 1/2. СН = AB * sin ∠САН, СН = 12 * 1/2 = 6 см. Ответ:
6 см

Через стороны и радиус описанной окружности разностороннего треугольника

Через стороны и радиус описанной окружности высоту можно найти по следующей формуле:

h = bc / 2R

где r – радиус описанной около треугольника окружности, b,c – стороны треугольника

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Вокруг разностороннего треугольника описана окружность с радиусом 3 см. Из
вершины между сторонами b и с проведена высота. Стороны b и с соответственно равны 5 см и 6 см.
Найдите высоту. Решение: Найдем высоту, используя формулу h = 5 * 6 / 2 * 3 = 30 / 6 = 5 см. Ответ:
5 см.

Через длины отрезков прямоугольного треугольника, образованных на гипотенузе

Через длины отрезков образованных на гипотенузе высоту можно найти по следующей формуле:

h = √(C1 * C2)

где: C1, C2 — отрезки, образованные проведением высоты к гипотенузе.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В прямоугольном треугольнике катеты равны 4 см и 3 см. Угол BAH равен 30˚.
Найдите высоту. По теореме Пифагора найдём сторону BC, которая является гипотенузой в треугольнике
ABC. BC² = AB² = AC², BC² = 4² + 3² = 16+9 = 25 см², BC = √25 = 5 см. Угол
АНВ равен 90˚, так как АН является высотой, то есть, проведена перпендикулярно к стороне ВС.
Следовательно, треугольник АНВ – прямоугольный. Сторона ВН лежит напротив угла 30˚ в прямоугольном
треугольнике, значит, ее длина равна половине длины гипотенузы. Найдем ВН. BH = 1/2 AB. BH = 1/2 × 4 = 2 см. BC = BH + HC,
значит, HC = BC – BH, HC = 5 – 2 = 3 см. По формуле найдем высоту
(АН). АН = √(2 * 3) = √6 = 2,4 см. Ответ: 2,4 см.

Через основание и боковые стороны равнобедренного треугольника

Через основание и боковые стороны высота равнобедренного треугольника находится по формуле:

h = √(b² — a²/4)

где а – основание треугольника, b – боковая сторона. Для равнобедренного треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона равна 8 см. Из вершины В к
основанию АС проведена высота ВН. Отрезок АН равен 5 см. Найдите высоту. Решение: Так как по условию
треугольник АВС равнобедренный по условию, то АВ = ВС = 8 см высота ВН,
является и медианой, и биссектрисой. Значит, АН = НС, а АС = НС + АН, АС = 5 + 5 = 10 см. По
формуле найдем высоту ВН = √(АВ² — АС² / 4). ВН = √(8² — 10² / 4) = √(64 — 100 / 4) = √39 = 6 см.
Ответ: 6 см.

Высота прямоугольного треугольника через все стороны треугольника

Если известны все стороны прямоугольного треугольника, то можно найти его высоту по следующей
формуле:

h = ab / c

где a,b,c – стороны треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В прямоугольном треугольнике угол между катетом и гипотенузой равен 45˚.
Длина стороны АС равна 6 см. Найти высоту АН. Решение: По теореме о сумме углов в треугольнике
найдем угол АСВ. ∠АСВ = 180˚ – (45˚ + 90˚) = 45˚. Так как АСВ = АСВ, то
треугольник АВС равнобедренный с основанием ВС. Таким образом, АС = АВ = 6 см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС. BC² = AB² + AC². BC² = 6² + 6² = 36 +36 = 72 см². ВС = √72 = 6√2 см. Найдем
высоту по формуле AH = AB * AC / BC. АН = 6 * 6 / 6√2= см. Домножим
полученное значение на √2: (6 * √2) / √2 * √2 = 6√2 / 2 = 3√2 см. Ответ:
3√2 см

Через сторону равностороннего треугольника

Высота равностороннего треугольника через сторону треугольника ищется по следующей формуле:

h = a√3 / 2

где a – сторона треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример: Найдите высоту в равностороннем треугольнике, если известно, что его сторона
равна 4√3 см. Решение: Для нахождения высоты воспользуемся формулой h = a√3 / 2 = √3 * 4 √3 / 2 = 4 * 3 / 2 = 6 см. Ответ:
6 см

В зависимости от типа треугольника высота может располагаться по-разному:

Например, в треугольнике KGM высота GH, проведённая из вершины G к стороне находится внутри
треугольника, так как треугольник является остроугольным. Кроме того, треугольник в данном
примере равнобедренный, значит, она же является биссектрисой и медианой. Знание этого пригодится
при решении задач, например таким образом можно будет найти основание.
В тупоугольном треугольнике высота будет выходить за его пределы и для того чтобы её провести
понадобится сначала продлить сторону. Например, на рисунке сторона ВС продлена до НС.
В случае, когда треугольник имеет прямой угол – высота совпадёт с одним из катетов, либо будет
внутри треугольника (как в первом рассмотренном варианте) и проведена к гипотенузе.