Как найти взаимный перпендикуляр

Расстояния

Задача на нахождения расстояния в стереометрической фигуре является главной и самой важной из всех. Прежде всего определимся с тем, что имеется ввиду под словом «расстояние», ведь их может быть бесконечно много.

Расстояние между объектами в геометрии – это кратчайшее из расстояний между ними.

Обозначение:

В стереометрии найти расстояние можно между следующими комбинациями фигур:

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ

Расстояние между точками– это длина отрезка, соединяющего эти точки.

В задачах на стереометрию мы не можем просто воспользоваться линейкой, и длину этого отрезка должны найти аналитически. Поэтому длину отрезка AB между точками A и B находят как сторону треугольника, если отрезок AB удается включить в некоторый треугольник в качестве одной из его сторон.

То есть если в задаче предлагается найти расстояние между точками, нужно задать себе вопрос: «В каком треугольнике этот отрезок является стороной?», затем построить этот треугольник и найти в нем нужную сторону.

Например:

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКОЙ И ПРЯМОЙ

Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Этот отрезок перпендикуляра можно вычислить, включив его в треугольник (или трапецию) в качестве одной из высот. То есть нужно задать себе вопрос: «В каком треугольнике этот отрезок является высотой?», затем построить этот треугольник и найти в нем высоту.

Например:

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Существует несколько способов нахождения расстояния от точки до плоскости:

• Построение перпендикуляра из точки на плоскость.

• К этому способу обращаются, если расстояние из точки M на плоскость опускать неудобно, а удобно опустить равный ему перпендикуляр из другой точки, лежащей на одной линии с M.
• Построение перпендикуляра из точки прямой к плоскости.

• Построение перпендикуляра из точки плоскости на плоскость.

К этому способу, аналогично, обращаются, если расстояние из точки M на плоскость опускать неудобно, а удобно опустить равный ему перпендикуляр из другой точки, лежащей на одной плоскости с M.

• Через двойное выражение объема.

Расстояние от точки M до плоскости β – это перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, то есть по сути это высота в некоторой пирамиде с вершиной M и плоскостью основания, лежащей на β. Если легко вычислить объем этой пирамиды, используя другое основание и другую высоту, то через этот объем можно найти нужное расстояние.

Например:

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ

Существует несколько способов нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:

1. Построение взаимного перпендикуляра.

2. Построение параллельной прямой.

К этому способу обращаются, если строить взаимный перпендикуляр неудобно и одна из скрещивающихся прямых уже заключена в удобную плоскость.

К этому способу обращаются, если строить взаимный перпендикуляр неудобно и скрещивающиеся прямые уже заключены в удобные плоскости.

3. Построение параллельной плоскости.

Не будет преувеличением утверждать, что построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей наряду с определением расстояния между двумя точками являются основными графическими операциями при решении метрических задач.

Теоретической предпосылкой для построения на эпюре Монжа проекций прямых и плоскостей, перпендикулярных по отношению друг к другу в пространстве, служит отмеченное раньше (см. § 6) свойство

проекции прямого угла, одна из сторон которого параллельна какой-либо плоскости проекции:

1. Взаимно перпендикулярные прямые.

Чтобы можно было воспользоваться отмеченным свойством для построения на эпюре Монжа двух пересекающихся под углом 90° прямых, необходимо, чтобы одна из них была параллельна какой-либо плоскости проекции. Поясним сказанное на примерах.

ПРИМЕР 1. Через точку А провести прямую l, пересекающую горизонталь h под прямым углом (рис. 249).

Так как одна из сторон h прямого угла параллельна плоскости π₁ , то на эту плоскость прямой угол спроецируется без искажения. Поэтому через А’ проводим горизонтальную проекцию l’ ⊥ h’. Отмечаем точку М’ = l’ ∩ h’. Находим М» (М» ∈ h»). Точки А» и М» определяют l» (см. рис. 249, а).

Если вместо горизонтали будет задана фронталь f, то геометрические построения по проведению прямой l ⊥ f аналогичны только что рассмотренным с той лишь разницей, что построения неискаженной проекции прямого угла следует начинать с фронтальной проекции (см. рис. 249, б).

ПРИМЕР 2. Через точку А провести прямую l , пересекающую прямую а , заданную отрезком [ВС], под углом 90° (рис. 250).

Так как данный отрезок занимает произвольное положение по отношению к плоскостям проекций, мы не можем, как в предыдущем примере, воспользоваться свойством о частном случае проецирования прямого угла, поэтому вначале необходимо [ВС] перевести в положение, параллельное какой-либо плоскости проекции.

На рис. 250 [ВС] переведен в положение, параллельное плоскости π₃. Это сделано с помощью способа замены плоскостей проекции путем замены плоскости π₁ → π₃ || [ВС].

В результате такой замены в новой системе x₁π₂/π₃ [ВС] определяет горизонтальную прямую, поэтому все дальнейшие простроения выполнены так же, как это было сделано в предыдущем примере: после того, как была найдена точка М’₁, ее перевели на исходные плоскости проекции в положение М» и М’, эти точки совместно с А» и А’ определяют проекции прямой l.

ПРИМЕР 3. Провести горизонтальную проекцию стороны [ВС] прямого угла АВС, если известны его фронтальная проекция ∠A»B»C» и горйзонтапьная проекция стороны [А’В’] (рис. 251).

РЕШЕНИЕ:

1. Переводим сторону угла [ВА] в положение || π₃ путем перехода от системы плоскостей проекции хπ₂/π₁ к новой x₁π₃/π₂

2. Определяем новую фронтальную проекцию [B»₁A»₁].

Из В»₁ восставляем перпендикуляр к [В»₁A»₁]. На этом перпендикуляре определяем точку С»₁ (С»₁ удалена от оси x₁ на расстояние |С_x1 С»₁| = |С_xС»|).

4. Горизонтальная проекция С’ определяется как точка пересечения прямых (С»₁С_x1) ∩ (С»С_x) = С’.

2. Взаимно перпендикулярные прямая и плоскость.

Из курса стереометрии известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна хотя бы к двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости.

Если в плоскости взять не произвольные пересекающиеся прямые, а ее горизонталь и фронталь, то открывается возможность воспользоваться свойством проекции прямого угла, как это было сделано в примере 1, рис. 249.

Рассмотрим следующий пример; пусть из точки A ∈ α требуется восставить перпендикуляр к плоскости α (рис. 252).

Через точку А проводим горизонталь h и фронталь f плоскости α. Тогда, по определению (АВ), перпендикулярная к плоскости α, должна быть перпендикулярна к прямым h и f, т. е. . Но сторона AM ∠ ВАМ || π₁, поэтому ∠ВАМ проецируется на плоскость π₁, без
искажения, т. е.. Сторона АК ∠ ВАК || π₂ и, следовательно, на плоскость π₂ этот угол проецируется также без искажения, т. е. и . Приведенные рассуждения можно сформулировать в виде следующей теоремы: для того чтобы прямая в пространстве была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы на эпюре горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция к фронтальной проекции фронтали этой плоскости.

Если плоскость задана следами, то теорема может быть сформулирована иначе: для того чтобы прямая в пространстве была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы проекции этой прямой были перпендикулярны к одноименным следам плоскости.

Установленные теоремой зависимости между прямой в пространстве, перпендикулярной к плоскости, и проекциями этой прямой к проекциям линий уровня (следам) плоскости лежат в основе графического алгоритма решения задачи по проведению прямой, перпендикулярной к плоскости, а также построения плоскости, перпендикулярной к заданной прямой.

ПРИМЕР 1. Восставить в вершине А перпендикуляр AD к плоскости ΔАВС (рис. 253).

Для того чтобы определить направление проекций перпендикуляра, проводим проекции горизонтали h и фронтали f плоскости ΔАВС. После этого из точки А’ восставляем перпендикуляр к h’, а из А» — к f’.

ПРИМЕР 2. Из точки А, принадлежащей плоскости α (m || n), восставить перпендикуляр к этой плоскости (рис. 254).

РЕШЕНИЕ. Для определения направления проекций перпендикуляра l’ и l», как и в предыдущем примере, проводим через точку А (А’,А») горизонталь h(h’, h»), принадлежащую плоскости α. Зная направление h’, строим горизонтальную проекцию перпендикуляра l’ (l’ ⊥ h’). Для определения направления фронтальной проекции перпендикуляра через точку А (А’, А») проводим фронталь f (f’, f») плоскости α. В силу параллельности f фронтальной плоскости проекции прямой угол между l и f проецируется на π₂ без искажения, поэтому проводим l» ⊥ f».

На рис. 255 эта же задача решена для случая, когда плоскость α задана следами. Для определения направлений проекций перпендикуляра отпадает необходимость в проведении горизонтали и фрон-

тали, так как их функции выполняют следы плоскости h_0α и f_0α. Как видно из чертежа, решение сводится к проведению через точки А’ и А» проекций l’ ⊥ h_0α и l» ⊥ f_0α.

ПРИМЕР 3. Построить плоскость γ, перпендикулярную к данной прямой l и проходящую через заданную точку А (рис. 256).

РЕШЕНИЕ. Через точку А проводим горизонталь h и фронталь f. Эти две пересекающиеся прямые определяют плоскость; чтобы она была перпендикулярна к прямой l, необходимо, чтобы прямые h и f составляли с прямой l угол 90°. Для этого проводим h’ ⊥ l’ и f» ⊥ l». Фронтальная проекция h» и горизонтальная проекция f’ проводятся параллельно оси x.

Рассмотренный случай позволяет по иному решать задачу, приведенную в примере 3 (с. 175 рис. 251). Сторона [ВС] ∠АВС должна принадлежать плоскости γ ⊥ [АВ] и проходить через точку В (рис. 257).

Это условие и определяет ход решения задачи, который состоит в следующем: заключаем точку В в плоскость γ ⊥ [АВ], для этого через точку В проводим горизонталь и фронталь плоскости γ так, чтобы h’ ⊥ A’B’ и f» ⊥ A»B».

Точка С ∈ (ВС), принадлежащей плоскости γ, поэтому для нахождения ее горизонтальной проекции проводим через С» произвольную прямую 1″2″, принадлежащую плоскости γ; определяем горизонтальную проекцию этой прямой 1’2′ и на ней отмечаем точку С’ (С’ определяется пересечением линии связи — перпендикуляра, опущенного из С», с горизонтальной проекцией прямой 1’2′). С’ совместно с В’ определяют горизонтальную проекцию (ВС) ⊥ (АВ).

3. Взаимно перпендикулярные плоскости..

Две плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости.

Исходя из определения перпендикулярности плоскостей, задачу на построение плоскости β, перпендикулярной к плоскости α, решаем следующим путем: проводим прямую l, перпендикулярную к плоскости α; заключаем прямую l в плоскость β. Плоскость β ⊥ α, так как β ⊃ l ⊥ α.

Через прямую l можно провести множество плоскостей, поэтому задача имеет множество решений. Чтобы конкретизировать ответ, необходимо указать дополнительные условия.

ПРИМЕР 1. Через данную прямую а провести плоскость β, перпендикулярную к плоскости α (рис. 258).

РЕШЕНИЕ. Определяем направление проекций перпендикуляра к плоскости α, для этого находим горизонтальную проекцию горизонтали (h’) и фронтальную проекцию фронтали (f») ; из проекций произвольной точки А ∈ α проводим проекции перпендикуляра l’ ⊥ h’ и l» ⊥ f». Плоскость β ⊥ α, так как β ⊃ l ⊥ α.

ПРИМЕР 2. Через данную точку А провести горизонтально проецирующую плоскость γ, перпендикулярную к плоскости α, заданной следами (рис. 259, а).

Искомая плоскость γ должна содержать прямую, перпендикулярную плоскости α, или быть перпендикулярной к прямой, принадлежащей плоскости α. Так как плоскость γ должна быть горизонтально проецирующей, то прямая, перпендикулярная к ней, должна быть параллельна плоскости π₁, т. е. являться горизонталью плоскости α или (что то же самое) горизонтальным следом этой плоскости — h_0α Поэтому через горизок тальную проекцию точки А’ проводим горизонтальный след h_0γ ⊥ h_0α фронтальный след f_0γ ⊥ оси х.

На рис. 259, б показана фронтально проецирующая плоскость γ, проходящая через точку В и перпендикулярная к плоскости π₂.

Из чертежа видно, что отличительной особенностью эпюра, на котором заданы две взаимно перпендикулярные плоскости, из которых одна — фронтально проецирующая, является перпендикулярность их фронтальных следов f_0γ ⊥ f_0α, горизонтальный след фронтально проецирующей плоскости перпендикулярен оси х.

Взаимно перпендикулярные прямые

Взаимно перпендикулярные прямые, пересекаясь имеют одну общую точку и образуют при этом плоский угол.

Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона, параллельна плоскости проекции,
равна прямому углу, то и проецируемый угол также прямой.

Взаимно перпендикулярные прямые могут быть проведены на основе данного утверждения на эпюре Монжа: из двух
пересекающихся под прямым углом прямых, необходимо чтобы одна из них была параллельна какой-либо
плоскости проекции.

Через точку A провести прямую m перпендикулярную горизонтали h (на рисунке это отрезок [BC]) .

h` — это горизонтальная проекция прямой h параллельной плоскости проекции H. Принимая ее за одну сторону прямого угла, восстанавливаем из точки A` перпендикуляр m` и на их пересечении находим точку M`. По линии связи определяем недостающую проекцию M».

Через точку A провести прямую m ⊥[BC].

Судя по проекциям отрезка [B`C`], [B»C»], они принадлежат прямой [BC] общего положения. До того как опустить перпендикуляр из точки A на данную прямую, необходимо перевести ее в частное положение:
— [BC] ║ H, на эпюре: [B`C`] ║ x

или
— [BC] ║ V, на эпюре: [B»C»] ║ x.

Перевод осуществляем способом перемены плоскостей проекций — введя новую плоскость проекции H₁, проведя ось x₁ ║ [B»C»]. На H₁ строим проекции отрезка [B`<sub>1</sub>C`₁], которая представляет собой проекцию горизонтальной прямой и проекцию точки A`<sub>1</sub>. Из точки A`₁, опуская перпендикуляр к [B`<sub>1</sub>C`₁], находим точку M`<sub>1</sub> и далее M», M` и m», m`.

Провести недостающую горизонтальную проекцию стороны BC прямого угла ABC

+