Как найти значение аргумента линейной функции

Как найти значение аргумента по значению функции? Это можно сделать с помощью формулы функции.

Если формула задана формулой вида y=f(x), чтобы найти значение аргумента по значению функции, надо в формулу вместо y подставить заданное значение функции и решить получившееся уравнение относительно икса.

1) Линейная функция задана формулой y=5x-8. Найти значение аргумента, при котором значение функции равно 7; -38;0.

Поменяем местами левую и правую часть, чтобы запись выглядела в привычном виде (знаки при этом менять не надо):

Это — линейное уравнение. Неизвестное — в одну сторону, известные — в другую (при переносе слагаемых из одной части в другую знаки меняются на противоположные):

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

2) При каком значении аргумента значение функции

Решаем квадратное уравнение.

При y=0 x=3 и x=0,5.

Это — неполное квадратное уравнение. Общий множитель x выносим за скобки

При y=3 x=0 и x=3,5.

Значение аргумента по заданному значению функции можно также найти с помощью графика. О том, как это сделать, мы будем говорить в следующий раз.

В прошлый раз мы находили значение функции по значению аргумента с помощью формулы.

Рассмотрим, как по данному графику функции найти y по x.

1) Пользуясь графиком линейной функции, изображенной на рисунке 1, найдите значение функции,если значение аргумента равно 1; 3; -3, -1; 0.

Аргумент — это x, функция — y.

Найти значение функции по значению аргумента — значит, по данному значению x найти, чему равен y.

Начнём с x=1. На оси абсцисс Ox находим x=1. Чтобы найти соответствующее значение y, надо из точки на Ox идти либо вверх, либо вниз, чтобы попасть на график.

От x=1 идём вверх. От полученной точки на графике надо двигаться либо влево, либо вправо, чтобы попасть на ось Oy. В данном случае идем влево и попадаем с ординатой y=2 (стрелочки помогают увидеть направление движения).

Следовательно, при x=1 y=2.

Аналогично, если x=3, идем вверх до пересечения с графиком, затем влево до пересечения с осью ординат Oy.

Получаем, что при x=3 y=4.

Если x=-3, чтобы попасть на график функции, нужно идти вниз, затем — вправо, до пересечения с осью Oy.

При x=-1 ни вверх, ни вниз двигаться не надо — эта точка уже на графике функции. Следовательно, y=0.

Записываем: при x=-1 y=0.

При x=0 идем до графика вверх и попадаем в точку с ординатой y=2.

2) На рисунке 2 изображен график функции y=f(x).

Пользуясь графиком, найдите значение функции, если значение аргумента равно 1; 3; 5; 7; -1; -5.

Чтобы по графику функции найти y по x, сначала надо от точки с данной абсциссой попасть на график, двигаясь вверх либо вниз, а затем от точки на графике идти к оси Oy, двигаясь влево или вправо.

При x=1 идем до графика функции вверх, затем влево — на ось Oy. Попадаем в точку с ординатой y=2.

Пишем: при x=1 y=2.

При x равном -1 и -5 идем сначала вверх, затем — вправо.

При иксах равных 3; 5 и 7 идём вниз и влево.

Обратите внимание: различным значениям икса может соответствовать одно значение y:

Дана следующая функция y=f(x) :
y = 2x – 10, если x > 0
y = 0, если x = 0
y = 2 * |x| – 1, если x

Требуется найти значение функции по переданному x .

1. Получить с клавиатуры значение x .
2. Если x больше 0, то вычислить выражение 2*x-10 , результат присвоить переменной y .

1. Иначе если x равен 0, то присвоить y значение 0.

1. Иначе присвоить y результат выражения 2*|x|-1 .

var x , y : integer ;
begin
readln ( x ) ;
if x > 0 then y : = 2 * x – 10
else
if x = 0 then y : = 0
else y : = 2 * abs ( x ) – 1 ;

writeln ( y ) ;
end .

main ( ) <
int x , y ;
scanf ( «%d» , & x ) ;
if ( x > 0 ) y = 2 * x – 10 ;
else
if ( x == 0 ) y = 0 ;
else
y = 2 * abs ( x ) – 1 ;

printf ( «%d
» , y ) ;
>

x = input ( )
x = int ( x )

if x > 0 :
y = 2 *x – 10
elif x == 0 :
y = 0
else :
y = 2 * abs ( x ) – 1

В КуМир функция взятия модуля от числа возвращает вещественное значение. Поэтому используется функция int(), чтобы привести к целому, иначе присвоение невозможно.

Линейная функция

Но сначала официальное определение «Функции» – теперь ты его поймешь. Держи в уме: деньги – зарплата, вес – круассаны, расстояние – время.

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).

То есть, если у тебя есть функция ( y=fleft( x right)), это значит что каждому допустимому значению переменной ( x) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной ( y) (называемой «функцией»).

Что значит «допустимому»?

Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы «одинаково полезны» — не все можно подставить в зависимость.

Например, для функции ( y=sqrt{x}) отрицательные значения аргумента ( x) – недопустимы.

Ну и вернемся, наконец, к теме данной статьи.

Линейной называется функция вида ( y=kx+b), где ( k) и ( b) ­– любые числа (они называются коэффициентами).

Другими словами, линейная функция – это такая зависимость, что функция прямо пропорциональна аргументу.

Как думаешь, почему она называется линейной?

Все просто: потому что графиком этой функции является прямая линия. Но об этом чуть позже.

Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения ( Dleft( y right)) и область значений ( Eleft( y right)).

Область значений линейной функции

Тут тоже все просто: поскольку функция прямо пропорциональна аргументу, то чем больше аргумент ( x), тем больше значение функции ( y).

Значит, ( y) так же как и ( x) может принимать все возможные значения, то есть ( Eleft( y right)=mathbb{R}), верно?

Верно, да не всегда. Есть такие линейные функции, которые не могут принимать любые значения. Как думаешь, в каком случае возникают ограничения?

Вспомним формулу: ( y=kx+b). Какие нужно выбрать коэффициенты ( k) и ( b), чтобы значение функции y не зависело от аргумента ( x)?

А вот какие: ( b) – любое, но ( k=0). И правда, каким бы ни был аргумент ( x), при умножении на ( k=0) получится ( 0)!

Тогда функция станет равна ( y=0cdot x+b=b), то есть она принимает одно и то же значение при всех ( x):

( y = kx + b:{rm{ }}left[ begin{array}{l}Eleft( y right) = mathbb{R}{rm{ при }}k ne 0\Eleft( y right) = left{ b right}{rm{ при }}k = 0.end{array} right.)

Теперь рассмотрим несколько задач на линейную функцию.

График линейной функции

Как я уже упоминал ранее, график такой функции – прямая линия.

Как известно из геометрии, прямую можно провести через две точки (то есть, если известны две точки, принадлежащие прямой, этого достаточно, чтобы ее начертить).

Предположим, у нас есть функция линейная функция ( y=2x+1). Чтобы построить ее график, нужно вычислить координаты любых двух точек.

То есть нужно взять любые два значения аргумента ( x) и вычислить соответствующие два значения функции.

Затем для каждой пары ( left( x;y right)) найдем точку в системе координат, и проведем прямую через эти две точки.

Проще всего найти функцию, если аргумент ( x=0:yleft( 0 right)=2cdot 0+1=1).

Итак, первая точка имеет координаты ( left( 0;1 right)).

Теперь возьмем любое другое число в качестве ( x), например, ( x=1:yleft( 1 right)=2cdot 1+1=3).

Вторая точка имеет координаты ( left( 1;3 right)).

Ставим эти две точки на координатной плоскости:

Теперь прикладываем линейку, и проводим прямую через эти две точки:

Вот и все, график построен!

Давай теперь на этом же рисунке построим еще два графика: ( y={x} -1) и ( y=-x+2).

Построй их самостоятельно так же: посчитай значение y для любых двух значений ( x), отметь эти точки на рисунке и проведи через них прямую.

Должно получиться так:

Коэффициенты линейной функции

Для начала выясним, что делает коэффициент ( displaystyle b). Рассмотрим функцию ( displaystyle y=x+b), то есть ( displaystyle k=1).

Меняя ( displaystyle b) будем следить, что происходит с графиком.

Итак, начертим графики для разных значений ( displaystyle b:b=-2,text{ -}1,text{ }0,text{ }1,text{ }2):

Что ты можешь сказать о них? Чем отличаются графики?

Это сразу видно: чем больше ( displaystyle b), тем выше располагается прямая.

Более того, заметь такую вещь: график пересекает ось ( displaystyle mathbf{y}) в точке с координатой, равной ( displaystyle mathbf{b})!

И правда. Как найти точку пересечения графика с осью ( displaystyle y)? Чему равен ( displaystyle x) в такой точке?

В любой точке оси ординат (это название оси ( displaystyle y), если ты забыл) ( displaystyle x=0).

Значит достаточно подставить ( displaystyle x=0) в функцию, и получим ординату пересечения графика с осью ( displaystyle y):

Построим графики для ( displaystyle k=-3,text{ -}1,text{ }0,text{ }1,text{ }2:)

Так, теперь ясно: ( displaystyle k) влияет на наклон графика.

Чем больше ( displaystyle k) по модулю (то есть несмотря на знак), тем «круче» (под большим углом к оси абсцисс – ( displaystyle Ox)) расположена прямая.

Если ( displaystyle k>0), график наклонен «вправо», при ( displaystyle k<0) – «влево». А когда ( displaystyle k=0), прямая располагается вдоль оси абсциссс.

Давай разбираться. Начертим новый график ( displaystyle y=kx+b):

Выберем на графике две точки ( displaystyle A) и ( displaystyle B). Для простоты выберем точку ( displaystyle A) на пересечении графика с осью ординат. Точка ( displaystyle B) – в произвольном месте прямой, пусть ее координаты равны ( displaystyle left( x;y right)).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ( displaystyle ABC), построенный на отрезке ( displaystyle AB) как на гипотенузе.

Из рисунка видно, что ( displaystyle AC=x), ( displaystyle BC=y-b).

Подставим ( displaystyle y=kx+b) в ( displaystyle BC:BC=y-b=kx+b-b=kx).

Получается, что ( BC = k cdot AC{rm{ }} Rightarrow {rm{ }}k = frac{{BC}}{{AC}} = {mathop{rm tg}nolimits} alpha ).

Итак, коэффициент ( displaystyle k) равен тангенсу угла наклона графика, то есть угла между графиком и осью абсциссс.

Именно поэтому его (коэффициент ( displaystyle k)) обычно называют угловым коэффициентом.

В случае, когда ( k < 0,{mathop{rm tg}nolimits} alpha < 0,) что соответствует тупому углу:

Если же ( displaystyle k=0), тогда и ( {mathop{rm tg}nolimits} alpha = 0,) следовательно ( displaystyle alpha =0), то есть прямая параллельна оси абсцисс.

Понимать геометрическое значение коэффициентов очень важно, оно часто используется в различных задачах на линейную функцию.

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ перпендикулярен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁k₂ = −1 или k₁ = −1/k₂.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.

Линейная функция в математике с примерами решения и образцами выполнения

Линейная функция — функция вида y=kx+b (для функций одной переменной).

Определение и геометрический смысл

Рассмотрим уравнение с двумя неизвестными х и у:

где и b — заданные числа. Этому уравнению удовлетворяет бесконечное множество пар чисел х и у.

удовлетворяют следующие пары:

Для того чтобы найти пару чисел, удовлетворяющих уравнению ( * ), нужно придать х произвольное числовое значение и подставить в уравнение ( * ), тогда у получит определенное числовое значение. Например, если х = 27, то у = 2 x 27 — 6 = 48. Очевидно, что пара чисел х =27 и у =48 удовлетворяет уравнению (*). Так же и в случае уравнения (1) можно придать х произвольное числовое значение и получить для у соответствующее числовое значение.

Так как в данном уравнении х может принимать любое числовое значение, то его называют переменной величиной. Поскольку выбор этого числового значения ничем не ограничен, то х называют независимой переменной величиной или аргументом.

Для у получаются также различные значения, но уже в зависимости от выбранного значения х; поэтому у называют зависимым переменным или функцией.

Функцию у, определяемую уравнением (1), называют линейной функцией.

Пример:

Вычислить значения линейной функции, определяемой уравнением у = 0,5х + 3,7, при следующих значениях независимого переменного: х1 = 0, х2 = —0,5, х3 = —7,6.

Покажем, что если принять пару чисел х и у, удовлетворяющих уравнению (1), за абсциссу и ординату точки, то геометрическим местом этих точек будет прямая линия (рис. 14).

В самом деле, рассмотрим точку В(0, b) и точки М1(х1, у1) и М2(х2, у2), координаты которых удовлетворяют уравнению (1), т. е.

Обозначим проекции точек М1 и М2 на ось Ох через А1 и A2, тогда ОА1 = х1, ОА2 = х2, А1М1= у1, А2М2 = у2. Проведем из точки В прямую, параллельную оси Ох. При этом получим b = ОВ = А1Р1 = А2Р2.

Предположим, что точки BМ1 и М2 не лежат народной прямой. Соединяя точку В с точками М1 и М2, получим два прямоугольных треугольника ВР1М1 и ВР2М2, из которых имеем:

Но так как х1, у1 и х2, у2 удовлетворяют уравнению (1), то

Выражения и являются отношениями противоположных катетов к прилежащим для уг лов Р1ВМ1 и Р2ВМ2. Следовательно, tg Р1ВМ1 = и tg Р2ВМ2 = , а поэтому и Р1ВМ1 = P2BM2 так как углы острые. Это значит, что точки М2 и В лежат на одной прямой. Но мы предположили, что эти точки не лежат на одной прямой. Таким образом, мы пришли к противоречию, а это и доказывает, что точки M1, М2 и В лежат на одной прямой. Обозначим угол Р1ВМ1 через а. Этот угол образован прямой ВМ1 с положительным направлением оси Ох.

Так как М1 и М2 — произвольные точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), то можно сделать следующее заключение: любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (1), лежит на прямой, отсекающей на оси Оу отрезок ОВ = b и образующей с положительным направлением оси Ох угол а такой, что tg a = .

Число b называется начальной ординатой, число — угловым коэффициентом прямой.

Предыдущие рассуждения позволяют сделать вывод: линейная функция y = x + b определяет на плоскости прямую, у которой начальная ордината равна Ъ, а угловой коэффициент .

Например, линейная функция определяет на координатной плоскости прямую, отсекающую на оси Оу отрезок —4 и наклоненную к оси Ох под углом в 60°, так как tg60° = .

Если имеем определенную прямую, отсекающую на оси Оу отрезок b и наклоненную к оси Ох под углом , тангенс которого равен то, взяв произвольную абсциссу, найдем на указанной прямой только одну точку, имеющую эту абсциссу, т. е. по заданному х найдется только одна точка, а следовательно, и одно значение у.

Очевидно, имеет место и такое предложение:

Всякой прямой, отсекающей на оси Оу отрезок b и наклоненной к оси Ох под углом, тангенс которого равен числу соответствует линейная функция y = x + b.

Координаты любой тонки, лежащей на указанной прямой, удовлетворяют уравнению (1), поэтому уравнение у = х + b называют уравнением прямой. Таким образом, всякая линейная функция является уравнением некоторой прямой.

Отметим частные случаи.

1.Пусть b = 0, т. е. линейная функция определяется уравнением

Прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат. Здесь у пропорционален х, т. е. если х увеличить (уменьшить) в несколько раз, то и у увеличится (уменьшится) во столько же раз.

2.Пусть = 0, т. е. tgа = 0, откуда а = 0. Линейная функция определяется уравнением

Этому уравнению соответствует прямая, параллельная оси Ох и отстоящая от нее на расстояние b.

На основании всего сказанного в этом параграфе легко решаются следующие задачи.

Задача:

Даны точки А (3, 5) и В(— 1, 4). Нужно узнать, лежат ли эти точки на прямой, уравнение которой имеет вид

Решение:

Если точка лежит на прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Поэтому для решения задачи подставим координаты точки А в уравнение (*), получим 5 = 2 x 3 — 1. Это тождество, следовательно, точка А лежит на прямой. Подставляя координаты точки В, получаем 4 = 2(— 1)—1 = —3. Отсюда видно, что точка В не лежит на прямой.

Задача:

Построить прямую, уравнение которой

Решение:

Чтобы построить прямую, надо знать, например, две ее точки. Поэтому дадим х произвольное значение, например х = 2, и найдем из уравнения (**) значение

Значит, точка A (2, 4) лежит на прямой.

Это первая точка. Теперь дадим х какое-нибудь другое значение, например х = —2, и вычислим у из уравнения (**).

Точка B ( — 2, 2) лежит на прямой. Это вторая точка. Строим точки A и B (рис. 15) и проводим через них прямую, это и есть искомая прямая.

Основное свойство линейной функции

Рассмотрим линейную функцию у = х + b. Найдем значение этой функции при

Здесь первое и второе значения х различны, они отличаются друг от друга на величину х2 — х1. Величину разности х2 — х1, на которую изменяется x при переходе от x1 к х2, назовем приращением независимого переменного х. Эту величину часто будем обозначать через h, так что h = x2 — x1. Найдем, насколько изменилось значение у при изменении х1 на h . Для этого вычтем из у2 значение у1

т. е. приращение линейной функции пропорционально приращению независимого переменного.

Это и есть основное свойство линейной функции. Заметим, что х2 может быть больше, а может быть и меньше, чем х1. Поэтому h = x2 — x1 может быть как положительным, так и отрицательным числом, иначе говоря, приращение h независимого переменного может быть любого знака. То же самое относится и к приращению функции, т. е. к величине у2—у1.

Пример:

Найдем приращение функции y = 0,6x—3, если приращение независимого переменного h = 0,1.

По основному свойству у2—у1 = 0,6 x 0,1 = 0,06.

Приращение этой же функции y = 0,6x—3 , если h = —3, будет равно у2—у1 = 0,6 x (— 3) = —1,8. В этом случае приращения независимого переменного и функции отрицательны, т. е. в этом случае и независимое переменное и функция не увеличиваются, а уменьшаются.

Пример:

Найдем приращение функции у = —2x+10 при изменении х на h = —0,5. Будем иметь

Задачи на прямую

Задача:

Найти угол y между двумя прямыми, заданными уравнениями

Решение:

При пересечении прямых образуются четыре попарно равных угла. Найдя один из них, легко найти и другие. На рис. 16 прямые обозначены соответственно (1) и (2).

Угол хАВ является внешним по отношению к треугольнику ABC, поэтому он равен сумме двух внутренних углов треугольника, с ним не смежных, т. е.

Но углы а1 и а2 непосредственно неизвестны, а известны их тангенсы

Пример:

Найти угол между прямыми, заданными уравнениями

применяя формулу (1), получим;

Если же будем считать, что

Получены два ответа: сначала найден острый угол между заданными прямыми, а затем — тупой.

Если заданы две параллельные прямые, то углы а1 и а2 равны, как соответственные, следовательно, тангенсы их тоже равны

Таким образом, мы приходим к выводу: если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.

Если прямые перпендикулярны, то угол между ними равен 90°, т. е. . Но тангенс прямого угла не существует, поэтому формула (1) не должна давать ответа, а это может быть только в том случае, когда знаменатель равен нулю (на нуль делить нельзя):

Это и есть условие перпендикулярности двух прямых. Это условие удобно запомнить в следующей формулировке: если две прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Пример:

Найдем угол между прямыми, заданными уравнениями

Здесь угловые коэффициенты (первый равен 3, а второй обратны по величине и противоположны по знаку, следовательно, рассматриваемые прямые перпендикулярны.

Задача:

Даны две точки: M1(x1, у1) и М2(х2, у2), где (т. е. эти точки не лежат на одной прямой, параллельной оси Оу). Написать уравнение прямой, проходящей через точки M1 и М2.

Решение:

Искомая прямая не параллельна оси Оу, поэтому ее уравнение можно написать в виде Значит, для решения задачи надо определить числа и b.

Так как прямая проходит через точки М1 и М2, то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению ( * ), т. е.

В уравнениях ( ** ) и (*** ) все числа, кроме и b, известны, поэтому эти уравнения можно рассматривать как систему уравнений относительно и b. Решая систему, находим:

Подставляя найденные выражения в уравнение (*), получим

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки, не расположенные на прямой, параллельной оси Оу.

Полученному уравнению можно придать форму, удобную для запоминания, а именно:

Задача:

Написать уравнение прямой, проходящей через данную точку М(х1,у1) и образующей с осью Ох угол а.

Решение:

Прежде всего найдем угловой коэффициент искомой прямой: он равен тангенсу угла а. Обозначим Значит, уравнение прямой можно написать в виде где пока число b неизвестно. Так как прямая должна проходить через точку M, то координаты точки М удовлетворяют этому уравнению, т. е.

Находим отсюда неизвестное b, получим . Подставляя найденное в уравнение (*), будем иметь

Это и есть уравнение прямой, проходящей через точку М в заданном направлении.

Если в уравнении (4) менять направление, не меняя точку M, то получим уравнение всех прямых, проходящих через заданную точку. Уравнение , в котором переменное, а х1 и у1 не меняются, называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку М(х1, у1).

Пример:

Напишем уравнение прямой, проходящей через точку М( — 2, 3) и образующей с осью Ох угол 45°.

Так как tg 45° = 1, то угловой коэффициент равен 1; х1 = —2; у1 = 3. Уравнение прямой запишется в виде

Общее уравнение прямой. Неявная линейная функция

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными

Решим его относительно у:

т. е. мы получили линейную функцию, где ,Уравнения (1) и (2) равносильны, поэтому пара чисел х и у, удовлетворяющих уравнению (2), будет удовлетворять и уравнению (1). Так как уравнению (2) соответствует некоторая прямая, то эта же прямая будет соответствовать и уравнению (1).

Координаты любой точки, лежащей на этой прямой, удовлетворяют уравнению (1), поэтому будем называть его также уравнением прямой.

Рассмотрим особо случай, когда B = 0, так как на нуль делить нельзя.

Уравнение (1) примет вид

Поэтому, каков бы ни был у, х всегда равен Это имеет место для прямой, параллельной оси Оу; в самом деле, на ней можно найти точку с любой ординатой, но все точки этой прямой имеют одну и ту же абсциссу.

Таким образом, любому уравнению первой степени соответствует некоторая прямая. Придавая в уравнении (1) коэффициентам А, В и С различные значения, можно получить любое уравнение первой степени. Поэтому уравнение (1) называют общим уравнением прямой.

Из уравнения (1) (если ) можно определить у, т. е. получить линейную функцию; поэтому говорят, что уравнение (1) определяет неявно линейную функцию или что уравнение (1) есть неявная линейная функция.

Система двух уравнений первой степени

Напомним, что две прямые, расположенные на плоскости, могут или пересекаться, или быть параллельными (т. е. не пересекаться), или сливаться (в этом случае можно сказать, что они пересекаются в каждой своей точке).

Рассмотрим систему двух уравнений

Каждое из этих уравнений является уравнением прямой. Решить систему — это значит найти значения х и у, которые удовлетворяют и первому и второму уравнениям. Но так как х и у определяют точку, то следовательно, решить систему—это значит найти точку, лежащую и на первой и на второй прямых, т. е. найти точку пересечения прямых.

Пример:

Найдем точку пересечения двух прямых:

Решая эту систему, получим: х = 1, у = 2, т. е. прямые пересекаются в точке (1,2) (рис. 17).

Пример:

Найдем точку пересечения двух прямых:

Решая эту систему, получим:

Последнее равенство нелепо, значит, прямые не пересекаются, Рис. 17. т. е. они параллельны.

Пример:

Найдем точку пересечения данных прямых

Решая эту систему, получим:

Полученное равенство всегда справедливо, т. е. справедливо при любом значении x. Это значит, что две прямые пересекаются в каждой своей точке, что может быть только тогда, когда они сливаются.

Заметим, что два уравнения, рассматриваемые в этом примере, являются равносильными, поэтому они и представляют одну и ту же прямую.

Примеры решения линейной функции

Линейная функция встречается в формулировках многих физических законов и технических задач. Приведем примеры.

Пример:

Если точка движется равномерно по прямой, то ее расстояние от выбранной точки (от начала координат) выражается при помощи уравнения

где — начальное расстояние, v0 — скорость, t — время; это, как мы уже знаем, есть линейная функция.

Пример:

Закон Ома записывается в виде

где v — напряжение, R — сопротивление и I — ток. Если не изменяется, то v является линейной функцией тока I .

Пример:

Если стоимость провоза единицы товара по железной дороге равна а руб. за километр, то стоимость v провоза N единиц товара на l км равна

Если же стоимость товара на месте равна М руб., то после перевозки за него надо заплатить

Здесь v—линейная функция l.

Линейная функция встречается в различных областях, но, где бы она ни встречалась, ее всегда можно рассматривать как уравнение прямой. Этим обстоятельством часто пользуются при решении задач.

Задача:

Два города А и В, расстояние между которыми равно 300 км, находятся на одной железнодорожной магистрали. На этой же магистрали между городами А и В надо выбрать пункт С, в котором предполагается устроить склад нефти для снабжения указанных городов. Надо выбрать пункт С так, чтобы общая стоимость перевозок нефти для снабжения города А и города В была наименьшей. Известно, что город А потребляет 400 т нефти, а город В—200 т. Перевозка одной тонны нефти на один километр обходится в а руб.

Решение:

Обозначим расстояние от А до предполагаемого пункта С через х. Тогда расстояние от города В до С равно 300 — х. Стоимость перевозки одной тонны нефти из С в A равна ах руб., а перевозки 400 т—400аx руб. Аналогично перевозка нефти из С в В будет стоить 200а (300 — х) руб. Стоимость всех перевозок, которую обозначим через у, будет выражаться так:

Это линейная функция. Если примем х за абсциссу, а у за ординату точки, то полученная линейная функция определяет уравнение некоторой прямой. Угловой коэффициент ее равен 200а, т. е. положителен, следовательно, эта прямая образует с осью Ох острый угол и поэтому с увеличением независимого переменного поднимается вверх. По смыслу задачи величина х заключена между 0 и 300, т. е. При х = 0 величина у принимает значение 60 000а, а при x = 300— значение 120 000а. Ясно, что 60 000а есть наименьшее из возможных значений, 120 000а— наибольшее.

Так как пункт С надо выбрать так, чтобы стоимость была наименьшей, то его следует расположить в городе A, если же этого сделать нельзя по каким-либо соображениям, то, чем ближе расположить его к A, тем выгодней.

Примеры применения линейной функции

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Алгоритм определения формулы линейной функции по графику

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выполнила учительница математики МБОУ Башкирский лицей № 1 муниципального района Учалинский район Республики Башкортостан Хидиятова Залифа Даутовна

Алгоритм определения формулы линейной функции по графику»

На рисунке представлен график функции у = kx +b.
Записать формулу линейной функции, соответствующей данному графику.

1) Так как ордината точки пересечения графика функции с осью Оy равна 1, следовательно, b=1.
Значит, у = kx+ 1