Как найти значение игрека

Прежде чем перейти к разбору решения задач с функциями обязательно прочитайте урок
«Что такое функция в математике».

После того, как вы действительно поймете, что такое функция
(возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.

В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.

Как получить значение функции

Рассмотрим задание.
Функция задана формулой «y = 2x − 1»

1. Вычислить «y» при «x = 15»
2. Найти значение «x», при котором
   значение «y» равно «−19».

Для того, чтобы вычислить «y» при
«x = 15» достаточно подставить в функцию вместо «x»
необходимое числовое значение.

Запись решения выглядит следующим образом.

y(15) = 2 · 15 − 1 = 30 − 1 = 29

Для того, чтобы найти «x»
по известному «y», необходимо подставить вместо
«y» в формулу функции числовое значение.

То есть теперь наоборот, для поиска «x»
мы подставляем в функцию «y = 2x − 1» вместо
«y» число «−19» .

−19 = 2x − 1

Мы получили линейное уравнение с неизвестным «x»,
которое решается по правилам решения линейных уравнений.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
−2x = −1 + 19
−2x = 18

Как и при решении линейного уравнения, чтобы найти неизвестное, сейчас
требуется умножить и левую, и правую часть на «−1» для смены знака.

−2x = 18       | · (−1)
2x = −18                

Теперь разделим и левую, и правую часть на «2», чтобы найти «x» .

2x = −18     | (: 2)
x = −9                

Как проверить верно ли равенство для функции

Рассмотрим задание.
Функция задана формулой «f(x) = 2 − 5x».

Верно ли равенство
«f(−2) = −18»?

Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию «f(x) = 2 − 5x»
числовое значение «x = −2» и сопоставить с тем, что получится при расчетах.

Неправильно

Правильно

С помощью расчетов мы получили
«f(−2) = 12».

Это означает, что «f(−2) = −18»
для функции «f(x) = 2 − 5x» не является верным равенством.

Как проверить, что точка принадлежит графику функции

Рассмотрим функцию «y = x² −5x + 6»

Требуется выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами
(1; 2).

Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.

Вернемся к нашему заданию. Подставим в функцию «y = x² − 5x + 6»
координаты точки (1; 2).

Вместо «x» подставим «1».
Вместо «y» подставим «2».

2 = 1² − 5 · 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (верно)

У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами
(1; 2) принадлежит заданной функции.

Теперь проверим точку с координатами (0; 1).
Принадлежит ли она
функции «y = x² − 5x + 6»?

Вместо «x» подставим «0».
Вместо «y» подставим «1».

1 = 0² − 5 · 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (неверно)

В этом случае мы не получили верное равенство.
Это означает, что точка с координатами (0; 1) не принадлежит функции
«y = x² − 5x + 6»

Как получить координаты точки функции

С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат
в формулу функции получается верное равенство.

Рассмотрим функцию «y(x) = −2x + 1». Её график
мы уже
строили
в предыдущем уроке.

Найдем на графике функции «y(x) = −2x + 1», чему равен «y»
при x = 2.

Для этого из значения «2» на оси «Ox» проведем перпендикуляр к графику функции.
Из точки пересечения перпендикуляра и графика функции проведем еще один перпендикуляр к оси «Oy».

Полученное значение «−3» на оси «Oy» и будет искомым значением «y».

Убедимся, что мы правильно сняли координаты точки для x = 2
в функции «y(x) = −2x + 1».

Для этого мы подставим x = 2 в формулу функции
«y(x) = −2x + 1». Если мы правильно
провели перпендикуляр, мы также должны получить в итоге y = −3.

y(2) = −2 · 2 + 1 = −4 + 1 = −3

При расчетах мы также получили y = −3.

Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.

При получении координат точек с графика функции высока вероятность, что вы ошибетесь, т.к. проведение перпендикуляра к осям выполняется «на глазок».

Только подстановка значений в формулу функции дает точные результаты.

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

Как найти значение аргумента по значению функции? Это можно сделать с помощью формулы функции.

Если формула задана формулой вида y=f(x), чтобы найти значение аргумента по значению функции, надо в формулу вместо y подставить заданное значение функции и решить получившееся уравнение относительно икса.

1) Линейная функция задана формулой y=5x-8. Найти значение аргумента, при котором значение функции равно 7; -38;0.

Поменяем местами левую и правую часть, чтобы запись выглядела в привычном виде (знаки при этом менять не надо):

Это — линейное уравнение. Неизвестное — в одну сторону, известные — в другую (при переносе слагаемых из одной части в другую знаки меняются на противоположные):

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

2) При каком значении аргумента значение функции

Решаем квадратное уравнение.

При y=0 x=3 и x=0,5.

Это — неполное квадратное уравнение. Общий множитель x выносим за скобки

При y=3 x=0 и x=3,5.

Значение аргумента по заданному значению функции можно также найти с помощью графика. О том, как это сделать, мы будем говорить в следующий раз.

В прошлый раз мы находили значение функции по значению аргумента с помощью формулы.

Рассмотрим, как по данному графику функции найти y по x.

1) Пользуясь графиком линейной функции, изображенной на рисунке 1, найдите значение функции,если значение аргумента равно 1; 3; -3, -1; 0.

Аргумент — это x, функция — y.

Найти значение функции по значению аргумента — значит, по данному значению x найти, чему равен y.

Начнём с x=1. На оси абсцисс Ox находим x=1. Чтобы найти соответствующее значение y, надо из точки на Ox идти либо вверх, либо вниз, чтобы попасть на график.

От x=1 идём вверх. От полученной точки на графике надо двигаться либо влево, либо вправо, чтобы попасть на ось Oy. В данном случае идем влево и попадаем с ординатой y=2 (стрелочки помогают увидеть направление движения).

Следовательно, при x=1 y=2.

Аналогично, если x=3, идем вверх до пересечения с графиком, затем влево до пересечения с осью ординат Oy.

Получаем, что при x=3 y=4.

Если x=-3, чтобы попасть на график функции, нужно идти вниз, затем — вправо, до пересечения с осью Oy.

При x=-1 ни вверх, ни вниз двигаться не надо — эта точка уже на графике функции. Следовательно, y=0.

Записываем: при x=-1 y=0.

При x=0 идем до графика вверх и попадаем в точку с ординатой y=2.

2) На рисунке 2 изображен график функции y=f(x).

Пользуясь графиком, найдите значение функции, если значение аргумента равно 1; 3; 5; 7; -1; -5.

Чтобы по графику функции найти y по x, сначала надо от точки с данной абсциссой попасть на график, двигаясь вверх либо вниз, а затем от точки на графике идти к оси Oy, двигаясь влево или вправо.

При x=1 идем до графика функции вверх, затем влево — на ось Oy. Попадаем в точку с ординатой y=2.

Пишем: при x=1 y=2.

При x равном -1 и -5 идем сначала вверх, затем — вправо.

При иксах равных 3; 5 и 7 идём вниз и влево.

Обратите внимание: различным значениям икса может соответствовать одно значение y:

Дана следующая функция y=f(x) :
y = 2x – 10, если x > 0
y = 0, если x = 0
y = 2 * |x| – 1, если x

Требуется найти значение функции по переданному x .

1. Получить с клавиатуры значение x .
2. Если x больше 0, то вычислить выражение 2*x-10 , результат присвоить переменной y .

1. Иначе если x равен 0, то присвоить y значение 0.

1. Иначе присвоить y результат выражения 2*|x|-1 .

var x , y : integer ;
begin
readln ( x ) ;
if x > 0 then y : = 2 * x – 10
else
if x = 0 then y : = 0
else y : = 2 * abs ( x ) – 1 ;

writeln ( y ) ;
end .

main ( ) <
int x , y ;
scanf ( «%d» , & x ) ;
if ( x > 0 ) y = 2 * x – 10 ;
else
if ( x == 0 ) y = 0 ;
else
y = 2 * abs ( x ) – 1 ;

printf ( «%d
» , y ) ;
>

x = input ( )
x = int ( x )

if x > 0 :
y = 2 *x – 10
elif x == 0 :
y = 0
else :
y = 2 * abs ( x ) – 1

В КуМир функция взятия модуля от числа возвращает вещественное значение. Поэтому используется функция int(), чтобы привести к целому, иначе присвоение невозможно.

График линейной функции, его свойства и формулы

О чем эта статья:

Понятие функции

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

Понятие линейной функции

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;

если х = 2, то у = -1;

если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

График функции пересекает оси координат:

ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

ось ординат OY — в точке (0; b).

x = −b/k — является нулем функции.

Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

При k 0, то этот угол острый, если k

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;

если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ перпендикулярен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁k₂ = −1 или k₁ = −1/k₂.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.

Как найти вершину параболы: три формулы

Парабола присутствует в мире математики, физики и других наук. По траектории параболы передвигаются искусственные спутники, которые стремятся покинуть пределы Солнечной системы, мяч при игре в волейбол тоже описывает её траекторию. Нужно уметь строить параболу. А чтобы это не составляло труда, надо знать, как найти вершину параболы.

Нахождение вершины параболы: способы, примеры, советы

График функции y = ax 2 + bx + c, где a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член, называется параболой. Но обратите внимание на тот факт, что a ≠0.

У каждой точки параболы есть симметричная ей, кроме одной точки, и эта точка называется вершиной. Для того чтобы найти точку, которая является вершиной, нужно определиться, что такое точка на графике. Точка на графике – это определённая координата по оси абсцисс и по оси ординат. Она обозначается как (x; y). Давайте разбираться, как найти заветные числа.

Первый способ

Если вы хотите знать, как необходимо правильно вычислять координаты вершины, то нужно только выучить формулу x0 = -b/2a. Подставляя полученное число в функцию, получим y0.

Например, y =x 2 –8 x +15;

находим первый, второй коэффициенты и свободный член;

подставляем значения a и b в формулу;

вычисляем значения y;

Значит, вершина находится в точке (4;-1).

Ветви параболы симметричны относительно оси симметрии, которая идёт через вершину параболы. Зная корни уравнения, можно без особых трудностей посчитать абсциссу вершины параболы. Предположим, что k и n — корни квадратичного уравнения. Тогда точка x0 равноудалена от точек k и n, и её можно вычислить по формуле: x0 = (k + n)/2.

Рассмотрим на примере y =x 2 –6x+5

1) Приравниваем к нулю:

2) Находим дискриминант, используя формулу: D = b 2 –4 ac:

3) Находим корни уравнения по формуле (-b±√ D)/2a:

• 1 — первый корень;
• 5 — второй корень.

Второй способ

Дополнение до полного квадрата – отличный способ узнать, где располагается вершина. Используя этот способ, вы сможете вычислить точки x и y одновременно, без нужды подставлять x в начальный пример. Рассмотрим этот метод на примере функции: y=x 2 +8 x +10.

1. Сначала нужно приравнять выражение с переменной к 0. Потом перенести c в правую сторону с противоположным знаком, то есть у нас получается выражение x 2 + 8x = -10.

2. Теперь в левой части нужно сделать полный квадрат. Для этого посчитайте (b/2) 2 и увеличьте обе части уравнения результат. В этом случае нужно подставит 8 вместо b.

У нас получается 16. Теперь прибавьте это число к обеим частям уравнения:

3. Видно, что полученное выражение – полный квадрат. Его можно представить в форме: (x + 4) 2 = 6.

4. Используйте это выражение для поиска координат вершины параболы. Чтобы посчитать x, нужно приравнять его к 0. Получаем, x =-4. Координата y равна тому, что находится в правой части, то есть y =6. Вершина параболы этого уравнения (-4, 6).

Третий способ

Если вы знаете, что такое производная, то для вас есть другая формула. Несмотря на то, куда смотрят «рога» параболы, её вершина — точка экстремума. Для этого способа надо применить следующий алгоритм:

1. Нахождение первой производной по формуле f'(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Приравнивание производной к 0. В итоге вы получите 0 = 2ax + b, отсюда можно найти то, что нас интересует.

Рассмотрим этот способ подробнее.

Дана функция y = 4x²+16x-17;

• Записываем производную и приравниваем к нулю.

f'(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0

Построение параболы

Самое трудное при построении – это верно найти точки функции. Для подробного построения нужно просчитать 5–7 точек (для школьного курса хватит этого). Для этого выбираем какое-либо значение x и подставляем его в данную функцию. Итогом подсчётов будет число точки по оси ординат. После этого ставим на координатную плоскость полученные нами точки. В итоге у нас получается парабола.

Рассмотрим подробнее вопрос о нахождении точек, которые нужно отметить. Для примера возьмём функцию y =-x 2 +11 x -24 с вершиной в точке (5,5;-6,25).

1) Строим таблицу

2) Заполняем таблицу

Так как парабола имеет осевую симметрию, то можно считать только значения справа или слева от вершины. Лучше считать те значения, которые ближе к 0, так удобнее. В нашем случае эти значения 4 и 5.

X	4	5	5,5	6	7
Y	-4	-6	-6,25	-6	-4

Советы

Правильно находите коэффициенты.

Пишите промежуточные вычисления на бумаге. Это не только облегчит нахождение вершины, но и поможет найти свои ошибки.

Делайте всё поэтапно. Следуйте алгоритму.

Обратите ваше внимание на то, что:

• Нужно проверять правильно ли ваше решение.
• Необходимо успокоиться. Решение любых задач по математике требует опыта. Просто нужно отработать данную тему, и тогда непременно у вас всё получится.

Видео

Это видео поможет вам научиться находить вершину параболы

Прямые на координатной плоскости

Линейная функция

Линейной функцией называют функцию, заданную формулой

где k и b – произвольные (вещественные) числа.

При любых значениях k и b графиком линейной функции является прямая линия .

Число k называют угловым коэффициентом прямой линии (1), а число b – свободным членом .

График линейной функции

При k > 0 линейная функция (1) возрастает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 1, 2 и 3.

Рис.1

Рис.2

Рис.3

При k = 0 линейная функция (1) принимает одно и тоже значение y = b при всех значениях x , а её график представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, и изображен на рис. 4, 5 и 6.

Рис.4

Рис.5

Рис.6

При k линейная функция (1) убывает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 7, 8 и 9.

k y = kx + b₁ и y = kx + b₂ ,

имеющие одинаковые угловые коэффициенты и разные свободные члены , параллельны .

имеющие разные угловые коэффициенты , пересекаются при любых значениях свободных членов.

y = kx + b₁ и

перпендикулярны при любых значениях свободных членов.

Угловой коэффициент прямой линии

равен тангенсу угла φ , образованному (рис. 10) при повороте положительной полуоси абсцисс против часовой стрелки вокруг начала координат до прямой (2).

Рис.10

Рис.11

Рис.12

Прямая (1) пересекает ось Oy в точке, ордината которой (рис. 11) равна b .

При прямая (1) пересекает ось Ox в точке, абсцисса которой (рис. 12) вычисляется по формуле

Прямые, параллельные оси ординат

Прямые, параллельные оси Oy , задаются формулой

где c – произвольное число, и изображены на рис. 13, 14, 15.

Рис.13

Рис.14

Рис.15

Замечание 1 . Из рис. 13, 14, 15 вытекает, что зависимость, заданная формулой (3), функцией не является, поскольку значению аргумента x = c соответствует бесконечное множество значений y .;

Уравнение вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые

где p, q, r – произвольные числа.

В случае, когда уравнение (4) можно переписать в виде (1), откуда вытекает, что оно задаёт прямую линию .

что и требовалось.

В случае, когда получаем:

откуда вытекает, что уравнение (4) задает прямую линию вида (3).

В случае, когда q = 0, p = 0, уравнение (4) имеет вид

и при r = 0 его решением являются точки всей плоскости:

В случае, когда уравнение (5) решений вообще не имеет.

Замечание 2 . При любом значении r₁ , не совпадающем с r прямая линия, заданная уравнением

параллельна прямой, заданной уравнением (4) .

Замечание 3 . При любом значении r₂ прямая линия, заданная уравнением

перпендикулярна прямой, заданной уравнением (4) .

Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (2; – 3) и

1. параллельной к прямой
2. перпендикулярной к прямой (8).

В соответствии с формулой (6), будем искать уравнение прямой, параллельной прямой (8), в виде

где r₁ – некоторое число. Поскольку прямая (9) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство

Итак, уравнение прямой, параллельной к прямой

В соответствии с формулой (7), будем искать уравнение прямой, перпендикулярной прямой (8), в виде

где r₂ – некоторое число. Поскольку прямая (10) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство

источники:

http://liveposts.ru/articles/education-articles/matematika/kak-najti-vershinu-paraboly-tri-formuly

http://www.resolventa.ru/spr/algebra/degree1.htm

Что такое функция — человеческим языком

Так вот, функция отражает зависимость величин друг от друга: то есть при изменении одного числа ( displaystyle x), по некоторому закону ( displaystyle fleft( x right)) изменяется ( displaystyle y). 

Зависимость, или взаимосвязь – вот ключевые слова при определении понятия функции.

Попробуй самостоятельно придумать несколько примеров из жизни, где четко проявляется зависимость одного от другого.

И?… Не можешь придумать ни один пример? Как так! Смотри:

Допустим автомобиль движется со средней скоростью ( displaystyle 110) км/ч, как тогда выразить зависимость пути ( displaystyle S) от времени ( displaystyle t)?

Что в этом случае будет ( displaystyle y), что ( displaystyle x), и как будет выражено в итоге ( displaystyle fleft( x right))?

Проведем параллели между физической формулой и привычной нам записью функции ( displaystyle y=fleft( x right)):

• ( displaystyle y=S), то есть путь, который проедет автомобилист;
• ( displaystyle x=t), время, которое он проведет в пути;
• ( displaystyle fleft( x right)=110cdot x) зависимость пути от времени, учитывая, что скорость на всем пути постоянна.

Разобрался что к чему? Теперь перейдем на математический язык.

Что такое функция — на языке математики

Она может зависеть от множества критериев. Например, как в нашем случае, зависимость пути от времени, проведенном в дороге при движении с постоянной скоростью.

Справа у нас стоит ( displaystyle x). Эта величина переменная, или, как говорят математики, «аргумент».

Логично, что чем больше времени проведет автомобилист в дороге, тем большее расстояние он проедет (конечно, если скорость будет постоянна, и он не встрянет намертво в пробках).

Справа у нас также есть ( displaystyle f), за этим скрываются все действия, совершаемые над ( displaystyle x).

В нашем случае мы говорим, что ( displaystyle S=nu cdot t), а так как ( displaystyle nu =110)км/ч, то под ( displaystyle f) скрывается умножение на ( displaystyle 110), вот мы и получаем – ( displaystyle fleft( x right)=110cdot x).

Теперь, думаю, тебе все понятно?

Подведем итог:

• ( displaystyle y=fleft( x right)) – это формула, обозначающая функцию, то есть зависимость одной переменной от другой;
• ( displaystyle x) – переменная величина, или, аргумент;
• ( displaystyle y) – зависимая величина – изменяется при изменении аргумента, то есть ( displaystyle x) согласно какой-либо определенной формуле ( displaystyle f), отражающей зависимость одной величины от другой.

Теперь, когда ты понял суть понятия «функция» и знаешь, что такое переменная величина, а что постоянная, посмотрим на определение функции, каким его дают математики.

Область определения функции

Вернемся к нашему примеру.

Автомобилист едет с постоянной скоростью и проезжает расстояние, которое зависит от того, сколько времени он провел в пути. Все верно?

Разбираемся дальше. Мы говорили, что ( displaystyle x=t), это как раз и есть время, проведенное в пути.

Каким оно может быть? Ты сейчас можешь быть крайней удивлен такой постановкой вопроса, но все же, каким может быть это время?

Правильно, чисто теоретически от ( displaystyle 0) до ( displaystyle +infty ).

Вот ты сам и определил для нашего конкретного случая множество ( displaystyle X), а иначе говоря, допустимые значения аргумента или область определения функции ( displaystyle Dleft( y right)).

Запомнить очень легко: что определяет нашу функцию? От чего зависит игрек, и что мы меняем?

Функцию определяет икс! Соответственно, область определения – это возможные значения ( displaystyle x).

Теперь давай рассматривать, что такое множество ( displaystyle Y).

Еще один важный момент

Еще раз повторю определение и сделаю на нем акцент:

Функцией называется правило ( displaystyle f), по которому каждому элементу ( displaystyle x) множества ( displaystyle X) ставится в соответствие единственный элемент ( displaystyle y) множества ( displaystyle Y).

Заметил? Слово «единственный» – это очень-очень важный элемент нашего определения. Постараюсь объяснить тебе на пальцах.

Допустим, у нас есть функция, заданная прямой. ( displaystyle y=5x+3). При ( displaystyle x=0), мы подставляем данное значение в наше «правило» и получаем, что ( displaystyle y=3).

Одному значению ( displaystyle x) соответствует одно значение ( displaystyle y). Мы даже можем составить таблицу различных значений и построить график данной функции, чтобы убедится в этом.

( displaystyle x)	( displaystyle 0)	( displaystyle 1)	( displaystyle -1)	( displaystyle 2)	( displaystyle -2)
( displaystyle y)	( displaystyle 3)	( displaystyle	( displaystyle -2)	( displaystyle 13)	( displaystyle -7)

А вот и график с нашими отмеченными точками:

Как ты убедился – графиком является прямая, в которой одному значению ( displaystyle x) соответствует одно значение ( displaystyle y) (данный факт показан красными линиями).

Соответственно, данная зависимость подходит под определение функции.

А что ты скажешь о такой зависимости: ( displaystyle y=2{{x}^{2}}-4{x}-1), то есть параболы? Является ли она функцией? Давай составим также табличку значений:

«Смотри! – скажешь ты, – « ( displaystyle -mathbf{1})» встречается два раза!» Так быть может парабола не является функцией? Нет, является!

То, что «( displaystyle -1)» встречается два раза далеко не повод обвинять параболу в неоднозначности!

Дело в том, что, при расчёте для ( displaystyle x=0), мы получили один игрек. И при расчёте с ( displaystyle x=2) мы получили один игрек. Так что все верно, парабола является функцией.

Посмотри на график:

Разобрался? Если нет, вот тебе жизненный пример сооовсем далекий от математики!

Допустим, у нас есть группа абитуриентов, познакомившихся при подаче документов, каждый из которых в разговоре рассказал, где он живет:

Согласись, вполне реально, что несколько ребят живут в одном городе, но невозможно, чтобы один человек жил в нескольких городах одновременно. Это как бы логичное представление нашей «параболы» – нескольким разным икс соответствует один и тот же игрек.

Теперь придумаем пример, когда зависимость не будет функцией. Допустим, эти же ребята рассказывали, на какие специальности они подали документы:

Здесь у нас совершенно другая ситуация: один человек может спокойно подать документы как на одно, так и на несколько направлений. То есть одному элементу ( displaystyle x) множества ( displaystyle X) ставится в соответствие несколько элементов ( displaystyle y) множества ( displaystyle Y). Соответственно, это не функция.

Проверим твои знания на практике. Определи по рисункам, что является функцией, а что нет:

Разобрался? А вот и ответы:

• Функцией является – В, Е.
• Функцией не является – А, Б, Г, Д.

Почему? Да вот почему:

На всех рисунках кроме В) и Е) на один ( displaystyle x) приходится несколько ( displaystyle y)!

Уверена, теперь ты с легкостью отличишь функцию от «НЕ функции», скажешь, что такое аргумент и что такое зависимая переменная, а так же определишь область допустимых значений аргумента и область определения функции.

Приступаем к следующему разделу – как задать функцию?

Аналитический способ заданий функции

Аналитический способ – это и есть задание функции с помощью формулы. Это самый универсальный и исчерпывающий и однозначный способ. 

Если у тебя есть формула, то ты знаешь о функции абсолютно все – ты можешь составить по ней табличку значений, можешь построить график, определить, где функция возрастает, а где убывает, в общем, исследовать ее по полной программе.

Рассмотрим функцию ( displaystyle fleft( x right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+{x}-2). Чему равно ( displaystyle fleft( 2 right))?

«Что это значит?» – спросишь ты. Сейчас объясню.

Напомню, что в записи ( displaystyle f(x)) выражение в скобках называется аргументом.

И этот аргумент может быть любым выражением, не обязательно просто ( displaystyle x). Соответственно, каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо ( displaystyle x) в выражении ( displaystyle f(x)).

В нашем примере получится так:

( displaystyle fleft( 2 right)={{2}^{3}}-3cdot {{2}^{2}}+2-2=8-12+2-2=-4).

Пример из ЕГЭ

Найдите значение выражения ( displaystyle frac{fleft( x-15 right)}{fleft( x-18 right)}), при ( displaystyle fleft( x right)={{5}^{x}}).

Уверена, что сначала ты испугался, увидев такое выражение, но в нем нет абсолютно ничего страшного!

Давай решим.

Все как и в прошлом примере: каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо ( displaystyle x) в выражении ( displaystyle f(x)). Например, для функции ( displaystyle fleft( x right)={{5}^{x}}:fleft( x+1 right)={{5}^{left( x+1 right)}}) .

Что же нужно сделать в нашем примере? Вместо ( displaystyle fleft( x-15 right)) надо написать ( displaystyle {{5}^{x-15}}), а вместо – ( displaystyle fleft( x-18 right)-{{5}^{x-18}}):

( displaystyle frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}}={{a}^{x-y}}) и ( displaystyle {{a}^{x+y}}={{a}^{x}}cdot {{a}^{y}})

сократить получившееся выражение:

Теперь попробуй самостоятельно найти значение следующих выражений:

• ( displaystyle fleft( x-9 right)+fleft( 16-x right)), если ( displaystyle fleft( x right)=3x+2)
• ( displaystyle 3fleft( x-4 right)-fleft( 3x right)), если ( displaystyle fleft( x right)=x-5)

Справился? Сравним наши ответы: 

• ( displaystyle 25)
• ( displaystyle -22)

Мы привыкли, что функция имеет вид ( displaystyle y=fleft( x right)), даже в наших примерах мы задаем функцию именно таким образом, однако аналитически можно задать функцию в неявном виде, например ( displaystyle 5x+2y-3=0). Попробуй построить эту функцию самостоятельно.

Справился?

Вот как строила ее я.

Какое уравнение мы в итоге вывели? Правильно! Линейное, а это значит, что графиком будет прямая линия. Сделаем табличку, чтобы определить, какие точки принадлежат нашей прямой:

А теперь строим по данным точкам график:

Вот так из неявной формулы получилась линейная функция.

А теперь посмотри следующую формулу: ( displaystyle {{y}^{2}}=x). Является ли она функцией? Согласись, вызывает затруднение…

Попробуй подставить различные значения ( displaystyle x) и посмотреть, какой ( displaystyle y) им соответствует.

Вот как раз то, о чем мы говорили… Одному ( displaystyle x) соответствует несколько ( displaystyle y). Попробуем нарисовать то, что получилось:

Является ли то, что у нас получилось функцией? Правильно, нет! Почему? Попробуй ответить на этот вопрос с помощью рисунка. Что у тебя вышло?

«Потому что одному значению ( displaystyle x) соответствует несколько значений ( displaystyle y)!»

Какой вывод мы можем из этого сделать?

Правильно,  функция не всегда может быть выражена явно, и не всегда то, что «замаскировано» под функцию является функцией!

Табличный способ задания функции

Как следует из названия, этот способ представляет собой простую табличку. Да, да. Наподобие той, которой мы с тобой уже составляли. Например:

Как ты уже знаешь, в первой строчке мы ставим значение аргумента, а во второй строчке – соответствующие ему значение функции. Таким образом, в таблице каждому иксу соответствует одно значение игрека.

Заметь, в последней приведенной табличке невозможно четко определить правило, по которому игрек зависит от икс. Так тоже бывает и в этом нет ничего страшного, просто мы не можем вот так сразу взять и определить правило.

Если тебя это смущает, приведу в пример другую таблицу:

Здесь ты сразу подметил закономерность – игрек в три раза больше чем икс.

А теперь задание на «очень хорошо подумать»: как ты считаешь, равносильная ли функция, заданная в виде таблицы, функции ( displaystyle y=3x)?

Не будем долго рассуждать, а будем рисовать!

Итак. Рисуем функцию, заданную обоими способами:

Видишь разницу? Дело совсем не в отмеченных точках! Присмотрись внимательнее:

Теперь увидел? Когда мы задаем функцию табличным способом, мы на графике отражаем только те точки, которые есть у нас в таблице и линия (как в нашем случае) проходит только через них.

Когда мы задаем функцию аналитическим способом, мы можем взять любые точки, и наша функция ими не ограничивается. Вот такая вот особенность. Запоминай!

Словесный способ задания функции

Как же описать функцию словесно? 

Возьмем наш недавний пример – ( displaystyle y=3x).

Данную функцию можно описать «каждому действительному значению икс соответствует его утроенное значение». Вот и все. Ничего сложного.

Ты, конечно, возразишь: «Есть настолько сложные функции, которые словесно задать просто невозможно!» Да, есть и такие, но есть функции, которые описать словесно легче, чем задать формулой.

Например: «каждому натуральному значению икс соответствует разница между цифрами, из которых он состоит, при этом за уменьшаемое берется наибольшее цифра, содержащиеся в записи числа».

Теперь рассмотрим, как наше словесное описание функции реализуется на практике:

Пусть ( displaystyle x=256)

Наибольшая цифра в данном числе – ( displaystyle 6), соответственно, ( displaystyle 6) – уменьшаемое, тогда:

( displaystyle y=6-5-2=-1).