Как составить дробь с одним неизвестным

Иногда линейные уравнения принимают вид, когда неизвестное оказывается в числителе одной или нескольких дробей.
Как, например, в уравнении ниже.

В таких случаях подобные уравнения можно решить двумя способами.

I способ решения
Сведение уравнения к пропорции

Итак, вернемся к нашему уравнению. В левой части у нас и так стоит только одна дробь, поэтому в ней не нужны
никакие преобразования.

Будем работать с правой частью уравнения.
Упростим правую часть уравнения так, чтобы там осталась только одна дробь.
Для этого вспомним правила сложения числа с алгебраической дробью.

Теперь используем правило пропорции и решим уравнение до конца.

---

II способ решения
Сведение к линейному уравнению без дробей

Рассмотрим уравнение выше еще раз и решим его другим способом.

Мы видим, что в уравнении присутствуют две дроби
«» и
«».

Наша задача сделать так, чтобы в уравнении не осталось ни одной дроби.

Другими словами, необходимо свести уравнение к обычному
линейному уравнению без неизвестного в дроби.

Давайте зададим себе вопрос: «Какое число без остатка делится на каждый из знаменателей дробей, то есть и на
«5», и на «9» ?».
Таким ближайшим наименьшим числом будет число «45».

Умножим каждый член уравнения на «45».

Другие примеры решения уравнений с неизвестным в дроби

Решение уравнения I способом (через пропорцию)

• 
  +

  =

  +

  =

  +

  =

  =

  =

  (49 − 23y) · 2 = 15 · (y + 6)

  98 − 46y = 15y + 90

  −46y − 15y = 90 − 98

  −61y = −8     | :(−61)

  y =

  Ответ: y =

Решение уравнения II способом
(сведение к уравнению без дробей)

• 
  2 − +
  = 0             | ·20

  2 · 20 − +
  = 0 · 20

  40 − 5 ·(3x − 7) + 4 · (x + 17) = 0

  40 − 15x + 35 + 4x + 68 = 0

  −15x + 4x + 40 + 35 + 68 = 0

  −11x + 75 + 68 = 0

  −11x + 143 = 0

  −11x = −143     | :(−11)

  x = 13

  Ответ: x = 13

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит так	ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении: если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а; если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней; если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:	ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби

Вы будете перенаправлены на Автор24

Уравнения, содержащие переменную в знаменателе можно решать двумя способами:

Приведя дроби к общему знаменателю

Используя основное свойство пропорции

Вне зависимости от выбранного способа необходимо после нахождения корней уравнения выбрать из найденных допустимые значения, т.е те, которые не обращают знаменатель в $0$.

1 способ. Приведение дробей к общему знаменателю.

Решение:

1.Перенесем дробь из правой части уравнения в левую

Для того чтобы правильно это сделать, вспомним, что при перенесении элементов в другую часть уравнения меняется знак перед выражениями на противоположный. Значит, если в правой части перед дробью был знак «+», то в левой перед ней будет знак «-».Тогда в левой части получим разность дробей.

2.Теперь отметим что у дробей разные знаменатели, значит для того, чтобы составить разность необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение многочленов, стоящих в знаменателях исходных дробей: $(2x-1)(x+3)$

Для того чтобы получить тождественное выражение, числитель и знаменатель первой дроби необходимо умножить на многочлен $(x+3)$, а второй на многочлен $(2x-1)$.

Выполним преобразование в числителе первой дроби-произведем умножение многочленов. Вспомним , что для этого необходимо умножить первое слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена, затем второе слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена и результаты сложить

[left(2x+3right)left(х+3right)=2хcdot х+2хcdot 3+3cdot х+3cdot 3=<2х>^2+6х+3х+9]

Приведем подобные слагаемые в полученном выражении

[left(2x+3right)left(х+3right)=2хcdot х+2хcdot 3+3cdot х+3cdot 3=<2х>^2+6х+3х+9=] [<=2х>^2+9х+9]

Выполним аналогично преобразование в числителе второй дроби-произведем умножение многочленов

$left(x-5right)left(2х-1right)=хcdot 2х-хcdot 1-5cdot 2х+5cdot 1=<2х>^2-х-10х+5=<2х>^2-11х+5$

Тогда уравнение примет вид:

Теперь дроби с одинаковым знаменателем, значит можно производить вычитание. Вспомним, что при вычитании дробей с одинаковым знаменателем из числителя первой дроби необходимо вычесть числитель второй дроби, знаменатель оставить прежним

Преобразуем выражение в числителе. Для того, чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-» надо изменить все знаки перед слагаемыми , стоящими в скобках на противоположные

Приведем подобные слагаемые

Тогда дробь примет вид

3.Дробь равна $0$, если ее числитель равен 0. Поэтому мы приравниваем числитель дроби к $0$.

Решим линейное уравнение:

4.Проведем выборку корней. Это значит, что необходимо проверить, не обращаются ли знаменатели исходных дробей в $0$ при найденных корнях.

Поставим условие, что знаменатели не равны $0$

Значит допустимы все значения переменных, кроме $-3$ и $0,5$.

Найденный нами корень является допустимым значением, значит его смело можно считать корнем уравнения. Если бы найденный корень был бы не допустимым значением, то такой корень был бы посторонним и ,конечно, не был бы включен в ответ.

Ответ:$-0,2.$

Теперь можем составить алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе

Алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе

Перенести все элементы из правой части уравнения в левую. Для получения тождественного уравнения необходимо изменить все знаки, стоящие перед выражениями в правой части на противоположные

Если в левой части мы получим выражение с разными знаменателями, то приводим их к общему, используя основное свойство дроби. Выполнить преобразования, используя тождественные преобразования и получить итоговую дробь равную $0$.

Приравнять числитель к $0$ и найти корни получившегося уравнения.

Проведем выборку корней, т.е. найти допустимые значения переменных, которые не обращают знаменатель в $0$.

2 способ. Используем основное свойство пропорции

Основным свойством пропорции является то, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.

Используем данное свойство для решения этого задания

1.Найдем и приравняем произведение крайних и средних членов пропорции.

Решив полученное уравнение, мы найдем корни исходного

2.Найдем допустимые значения переменной .

Из предыдущего решения (1 способ) мы уже нашли , что допустимы любые значения, кроме $-3$ и $0,5$.

Тогда, установив что найденный корень является допустимым значением, мы выяснили, что $-0,2$ будет являться корнем.

Как решать уравнения с дробями. Показательное решение уравнений с дробями.

Решение уравнений с дробями рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, как решать уравнения с дробями.
Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.

Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.

Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.

Например, как решить дробное уравнение:
x/5+4=9
Умножаем обе части на 5. Получаем:
х+20=45

Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:

Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.

Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:

• значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
• нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.

Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.

Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.

Например, требуется решить дробное уравнение:

Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.

Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х

И решаем обычное уравнение

5x – 2х = 1
3x = 1
х = 1/3

Решим уравнение посложнее:

Здесь также присутствует ОДЗ: х -2.

Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.

Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую — на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):

Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше

Запишем это же уравнение, но несколько по-другому

Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:

х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ

Для закрепления материала рекомендуем еще посмотреть видео.

Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями, то отписывайтесь в комментариях.

Уравнения, содержащие переменную в знаменателе можно решать двумя способами:

1. Приведя дроби к общему знаменателю

2. Используя основное свойство пропорции

Вне зависимости от выбранного способа необходимо после нахождения корней уравнения выбрать из найденных допустимые значения, т.е те, которые не обращают знаменатель в $0$.

1 способ. Приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь можем составить алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе

Алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе

1. Перенести все элементы из правой части уравнения в левую. Для получения тождественного уравнения необходимо изменить все знаки, стоящие перед выражениями в правой части на противоположные

2. Если в левой части мы получим выражение с разными знаменателями, то приводим их к общему, используя основное свойство дроби. Выполнить преобразования, используя тождественные преобразования и получить итоговую дробь равную $0$.

3. Приравнять числитель к $0$ и найти корни получившегося уравнения.

4. Проведем выборку корней, т.е. найти допустимые значения переменных, которые не обращают знаменатель в $0$.

2 способ. Используем основное свойство пропорции

Основным свойством пропорции является то, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.

Дробно-рациональные уравнения — это уравнения c одной переменной.

Содержание:

Определение дробно-рационального уравнения

Определение дробно-рационального уравнения:

Например, уравнения

являются дробно-рациональными.

Рассмотрим дробно-рациональное уравнение Это уравнение можно решить, используя условие равенства рациональной дроби нулю.

Рациональная дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Таким образом, получим:

Ответ: 1.

Вернемся к уравнению Выполним тождественные преобразования уравнения.

1) Перенесем все слагаемые из правой части уравнения в левую:

2) Преобразуем левую часть уравнения к рациональной дроби:

3) Применим условие равенства дроби нулю:

Ответ: 5.

Что нужно для решения дробно-рационального уравнения

Чтобы решить дробно-рациональное уравнение, нужно:

1. Перенести все слагаемые из правой части уравнения в левую.
2. Преобразовать левую часть уравнения к рациональной дроби.
3. Применить условие равенства дроби нулю.
4. Записать ответ.

Рассмотрим задачу: В дроби числитель на 2 больше знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 3, а знаменатель увеличить на 3, то новая дробь будет равна Найдите знаменатель первоначальной дроби.

Решение:

Обозначим знаменатель первоначальной дроби через х, тогда ее числитель равен

Если числитель дроби уменьшить на 3, то получится числитель новой дроби: Знаменатель новой дроби после увеличения на 3 будет равен а новая дробь будет иметь вид Так как по условию задачи она равна , то получим уравнение . В левой части этого уравнения записано дробное рациональное выражение.

Решение многих задач приводит к уравнениям, у которых в левой или правой (или в той и другой) частях записаны дробные рациональные выражения. Такие уравнения называют дробно-рациональными уравнениями.

Пример №1

Решите уравнение

Решение:

(1)

(2)

(3)

(4) Ответ:

Пример №2

Решите уравнение

Решение:

(1)

(2)

(3)

(4) Ответ:

Пример №3

Решите уравнение

Решение:

(1)

(2)

(3)

(4) Ответ: -2; 6.

Пример №4

Решите уравнение

Решение:

Выполним замену переменной и получим уравнение которое является дробно-рациональным. Решим его, применив алгоритм:

Подставим найденные значения в равенство и получим:

Ответ:

Дробно-рациональные уравнения используются как математические модели для решения задач, описывающих реальные ситуации.

Например, рассмотрим задачу. На тушение лесных пожаров площадью 200 га отправлено несколько вертолетов с водосливными устройствами. По информации метеорологов предполагается усиление ветра, поэтому было выделено еще 5 вертолетов, в связи с чем площадь для сброса воды каждым вертолетом уменьшилась на 20 га. Сколько вертолетов участвовало в тушении пожаров первоначально?

Решение:

(1) Выясним, о каких величинах и зависимостях между ними в задаче идет речь. В задаче речь идет о площади лесных пожаров и количестве вертолетов для тушения пожаров.

(2) Выясним, какие значения, величин и зависимости между ними, известны. Известна зависимость между количеством вертолетов и площадью для сброса воды.

(3) Выясним, какие значения величин и зависимости между ними не известны. Неизвестно, сколько потребовалось вертолетов.

(4) Обозначим неизвестное значение одной величины через х, а остальные выразим через х и зависимости между величинами. Обозначим через первоначальное количество вертолетов и получим, что вертолетов направлено на тушение пожаров после сообщения метеорологов. Составим таблицу зависимостей между величинами.

(5) Используя зависимости между известными и неизвестными значениями величин, составим уравнение (математическую модель задачи) и решим его.

По условию задачи га на 20 га меньше, чем га. Значит, разность между большим и меньшим числом равна 20, т. е.

(6) Запишем ответ в соответствии со смыслом задачи. Поскольку — число вертолетов, то выбираем число 5.

Ответ: 5 вертолетов.

Многие задачи, описывающие реальные процессы, имеют одну и ту же математическую модель. К таким относятся, например, задачи на движение, работу и т. п.

Рассмотрим две задачи:

Задача 1. Два велосипедиста выехали одновременно из поселка в поселок Скорость первого велосипедиста на больше скорости второго, поэтому он прибыл в поселок на 0,5 ч раньше. С какими скоростями двигались велосипедисты, если расстояние между поселками равно 30 км?

Задача 2. Для заполнения водой резервуара объемом используют два крана: первый кран заполняет резервуар на 0,5 ч быстрее второго, так как в час через него наливается на больше, чем через второй. Найдите скорость заполнения резервуара водой через каждый кран.

В обеих задачах речь идет о процессах: в первой — о процессе движения, во второй — о процессе заполнения резервуара водой.

Составим таблицу зависимостей между величинами.

Поскольку первый велосипедист прибыл в поселок на 0,5 ч раньше второго, а один кран заполняет резервуар на 0,5 ч быстрее другого, то уравнение является математической моделью каждой из предложенных задач.

Решим полученное уравнение:

По условию каждой задачи подходит число 12.

Ответ задачи 1: скорость первого велосипедиста скорость второго велосипедиста Ответ задачи 2: скорость заполнения резервуара водой через первый кран через второй кран —

Пример №5

Является ли дробно-рациональным уравнение:

а)

б)

в)

г)

Решение:

Уравнение а) не является дробно-рациональным, так как его левая и правая части — целые рациональные выражения. Уравнения б)—г) являются дробно-рациональными, так как левые части этих уравнений — дробно-рациональные выражения.

Пример №6

Решите уравнение, используя условие равенства дроби нулю:

а)

б)

в)

г)

Решение:

а)

Ответ: 6.

б)

Ответ: -6.

в)

Ответ: 0; 6.

г)

Ответ: нет корней.

Пример №7

Какие из уравнений:

а)

б)

в)

г) равносильны?

Решение:

а)

б)

в)

г)

Ответ: уравнения а), в), г) имеют один и тот же корень (уравнения равносильны).

Пример №8

Решите уравнение:

а)

б)

Решение:

а) (1)

(2)

(3)

(4) Ответ: 1; 2.

б)

Разложим на множители квадратный трехчлен в знаменателе первой дроби и получим:

Ответ: 2,5.

Пример №9

Найдите нули функции

Решение:

Так как нули функции — это значения аргумента, при которых значение функции равно нулю, то для решения задачи нужно решить уравнение

Используем условие равенства дроби нулю:

Ответ: 0; 3.

Пример №10

Найдите корни уравнения

Решение:

Выполним замену переменной в данном уравнении: Получим уравнение которое является дробно-рациональным.

Решим его:

Выполним подстановку найденных значений переменной и получим:

Ответ:

Моделирование реальных процессов с помощью дробно-рациональных уравнении

Задача:

Катер прошел 15 км по течению реки и 4 км по озеру, затратив на весь путь 1 ч. Чему равна скорость катера при движении по озеру, если скорость течения реки ?

Решение:

В задаче идет речь о процессах движения катера по реке и по озеру. Составим таблицу зависимостей между величинами.

Так как по условию задачи на весь путь затрачен 1 ч, то составим уравнение: Решим его:

По условию подходит число 16.

Ответ: 16

Системы нелинейных уравнений для решения дробно-рациональных уравнений

Рассмотрим задачу. Из листа картона прямоугольной формы нужно изготовить коробку без крышки, сделав надрезы в углах длиной 4 см (рис. 67). Найдите длину и ширину листа, зная, что его периметр равен 60 см, а объем коробки должен быть равен

Решение:

Обозначим длину и ширину листа соответственно см и см. Так как в углах листа сделаны надрезы длиной 4 см, то высота коробки равна 4 см, а длина и ширина коробки равны см и см соответственно.

По условию задачи периметр листа прямоугольной формы равен 60 см, а объем коробки равен 160 значит, и Оба полученных условия должны быть выполнены, поэтому объединим их в систему уравнений

Полученная система уравнений содержит нелинейное рациональное уравнение Такие системы называют системами нелинейных уравнений. Рассмотрим способы решения систем нелинейных уравнений.

Способ подстановки

Решим полученную в задаче систему уравнений способом подстановки:

Из первого уравнения системы выразим переменную и получим

Заменим во втором уравнении переменную на и получим уравнение Решим это уравнение:

Найденные значения подставим в выражение Тогда если то а если то

Решениями системы уравнений являются пары чисел и Таким образом, размер прямоугольного листа картона

Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно:

1. Из одного уравнения системы выразить одну из переменных.
2. Заменить в другом уравнении эту переменную на ее выражение.
3. Решить полученное уравнение.
4. Найденные значения одной переменной подставить в выражение для другой переменной и найти значение другой переменной.
5. В виде упорядоченных пар чисел записать ответ.

Решите систему уравнений

Решение:

(1) Из второго уравнения системы выразим переменную

(2) Заменим в первом уравнении переменную на

(3) Решим уравнение и получим:

(4) Найденные значения подставим в выражение

Если то

Если то

(5) Ответ: (4; 1), (-4; -1).

Способ сложения

Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно:

1. Одно из уравнений системы оставить без изменения, а другое заменить суммой уравнений системы.
2. Из полученного уравнения (суммы) найти значения одной из переменных.
3. Подставить эти значения переменной в оставленное без изменения уравнение системы и найти значения другой переменной.
4. Записать ответ.

Решите систему уравнений

Решение:

(1)

(2)

(3) При получим:

При получим:

(4) Ответ: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2;-1).

• Заказать решение задач по высшей математике

Графический метод решения систем нелинейных уравнений

Решим систему уравнений графическим методом. Для этого построим в одной системе координат графики каждого из уравнений системы.

Первое уравнение системы равносильно уравнению графиком которого является гипербола, проходящая через точки (1; 1), (0,5; 2) (рис. 68).

Графиком второго уравнения системы является парабола с вершиной в точке (1; 1), пересекающая ось ординат в точке (0; 2).

Единственная точка пересечения гиперболы и параболы имеет координаты (1; 1).

Рис. 68

Поскольку графический метод решения систем уравнений не является точным, то полученный результат необходимо проверить.

Подставим пару чисел (1; 1) в каждое из уравнений системы , и получим верные равенства. Таким образом, данная система имеет единственное решение (1; 1).

В рассмотренной системе решением оказалась пара целых чисел, которую легко было найти с помощью построенных графиков. В других случаях найти точные значения переменных по графику может оказаться затруднительно. Но, как правило, с помощью графического метода можно определить число решений системы уравнений.

Например, определим число решений системы уравнений Построим в одной системе координат графики каждого из уравнений системы (рис. 69). Графиком первого уравнения системы является гипербола, проходящая через точки (1; 5), (5; 1). Графиком второго уравнения — парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0; 6). Графики пересекаются в трех точках, значит, система уравнений имеет три решения.

Рис. 69

Моделирование реальных процессов с помощью систем нелинейных уравнений

Системы нелинейных уравнений также являются математическими моделями при решении задач.

Задача:

Лечебными травами было решено засеять прямоугольный участок площадью При вспашке участка одну его сторону уменьшили на 3 м, а другую — на 2 м. Его площадь стала равна Какими были первоначальные размеры участка?

Решение:

В задаче речь идет о длине и ширине прямоугольного участка и его площади.

Если одну сторону участка обозначить через а другую — через то планируемая площадь участка равна По условию она равна значит, получится уравнение

После уменьшения размеров участка площадь станет равной По условию задачи составим уравнение

Объединим оба уравнения в систему

Получили математическую модель задачи в виде системы нелинейных уравнений. Решим ее, используя способ подстановки.

Условию задачи удовлетворяют найденные решения системы: стороны участка равны либо 15 м и 12 м, либо 18 м и 10 м.

Ответ: 15 м, 12 м или 18 м, 10 м.

Пример №11

Решите систему уравнений:

а)

б)

Решение:

а) Решим систему способом подстановки:

Ответ: (3; 0), (0; 3).

б) Применим способ сложения. Умножим первое уравнение на 2, сложим со вторым и получим:

Ответ:

Пример №12

Решите графически систему уравнений

Решение:

Построим графики уравнений системы

График первого уравнения — прямая, проходящая через точки (-2; 0), (1; 3). График второго уравнения — парабола с вершиной в точке (-1; -1), пересекающая ось абсцисс в точках (-2; 0) и (0; 0), проходящая через точку (1; 3).

Прямая пересекается с параболой в точках с координатами (-2; 0), (1; 3). С помощью проверки убеждаемся, что пары чисел (-2; 0) и (1; 3) являются решениями данной системы.

Ответ: (-2; 0), (1; 3).

Пример №13

Сколько решений имеет система уравнений

Решение:

Построим в одной системе координат графики уравнений системы. Графиком первого уравнения системы является гипербола, проходящая через точки (-1; 4), (-4; 1). График второго уравнения — парабола с вершиной в точке (-4; 0), пересекающая ось ординат в точке (0; 16).

На рисунке видны только две точки пересечения графиков. Но, учитывая то, что парабола пересекает ось ординат, а гипербола не пересекает, делаем вывод, что графики пересекаются еще в одной точке. Таким образом, графики пересекаются в трех точках, а, значит, система имеет три решения.

Пример №14

Решите систему уравнений

Решение:

Решим систему методом замены переменных. Введем новые переменные:

Тогда система примет вид

Решим ее способом подстановки:

Подставим и получим:

Решив каждую из двух систем совокупности способом подстановки, получим следующие решения исходной системы уравнений: (-5; 1); (1; -5); (4; 1); (1; 4).

Ответ: (-5; 1); (1; -5); (4; 1); (1; 4).

Задача:

Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если из этого числа вычесть 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите данное число.

Решение:

Обозначим цифру десятков данного числа через , а цифру единиц через , тогда данное число будет иметь вид . Числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, будет . По условию задачи: и Составим и решим систему уравнений:

По условию задачи подходит только

Ответ: 32.

Задача:

Из поселка в поселок вышел пешеход. Одновременно с ним из поселка в поселок выехал велосипедист. Через 50 мин они встретились. Сколько времени потребовалось бы пешеходу для того, чтобы пройти весь путь из в , если известно, что велосипедист проделал бы тот же путь на 4 ч быстрее пешехода?

Решение:

Составим таблицу зависимостей между величинами.

По условию задачи велосипедист проделал бы тот же путь на 4 ч быстрее пешехода, поэтому получим уравнение

При движении навстречу друг другу пешеход и велосипедист встретились через т. е.

Составим и решим систему уравнений:

откуда

Ответ: 5 ч.

Задача:

Две бригады, работая вместе, ремонтировали дорогу в течение б дней, а затем одна вторая бригада закончила ремонт за 10 дней. За сколько дней могла бы отремонтировать дорогу одна первая бригада, если она может выполнить эту работу на б дней быстрее, чем одна вторая?

Решение:

Составим таблицу зависимостей между величинами.

Обозначим объем всей работы через 1, тогда получим уравнение

Зная, что одна первая бригада может выполнить эту работу на б дней быстрее, чем одна вторая, составим уравнение

Составим и решим систему уравнений:

Ответ: 18 ч.

Формула длины отрезка с заданными координатами его концов. Уравнение окружности

Для применения графического метода решения систем необходимо знать графики различных уравнений. Многие из них вам уже знакомы. Это, например, прямая, гипербола, парабола.

Расширим возможности использования графического метода решения систем нелинейных уравнений и выведем уравнение окружности с центром в заданной точке с заданным радиусом. Для этого сначала выведем формулу для вычисления длины отрезка с заданными координатами его концов, т. е. для вычисления расстояния между двумя точками, заданными своими координатами.

Рассмотрим точки и (рис. 73). Найдем расстояние между этими точками (длину отрезка ). Рассмотрим прямоугольный треугольник , в котором По теореме Пифагора найдем гипотенузу треугольника

Получили формулу длины отрезка с заданными координатами его концов, или формулу расстояния между двумя точками с координатами

Пример №15

Найдите расстояние между точками А(-1; 3) и В(2; 5).

Решение:

Подставим координаты точек А(-1; 3) и В(2; 5) в формулу расстояния между двумя точками и получим, что

Рассмотрим окружность на координатной плоскости. Окружность — это множество точек плоскости, расстояние от каждой из которых до одной данной точки (центра окружности) является величиной постоянной, равной радиусу окружности

По формуле расстояния между двумя точками найдем расстояние от данной точки (центра окружности) до произвольной точки окружности (рис. 74):

Рис. 74

или

Таким образом, если точка принадлежит окружности с центром и радиусом то ее координаты удовлетворяют уравнению

Уравнение является уравнением окружности с центром в точке и радиусом

Если координаты точки удовлетворяют уравнению то эта точка принадлежит окружности с центром и радиусом

Покажем, что если точка не принадлежит окружности с центром и радиусом то ее координаты не удовлетворяют уравнению Действительно, если точка лежит вне окружности, то расстояние от нее до центра окружности больше радиуса, т. е. , а если точка лежит внутри окружности, то меньше,

т. е.

Чтобы составить уравнение окружности, нужно:

1. Определить координаты центра окружности
2. Определить радиус окружности
3. Подставить найденные значения и в уравнение окружности

Составьте уравнение окружности с центром в точке (-8; 2) и радиусом 5.

Решение:

(1)

(2)

(3)

Пример №16

Составьте уравнение окружности:

а) с центром в точке (4; -1) и радиусом

б) с центром в точке (0; 0) и радиусом 4.

Решение:

а) Подставим координаты центра окружности и значение радиуса в уравнение окружности и получим

б) Координаты центра окружности: радиус окружности Тогда уравнение данной окружности

Если центром окружности радиуса является начало координат, то ее уравнение имеет вид

Пример №17

Определите количество решений системы уравнений

Решение:

Рис. 75

Построим графики уравнений системы. Первое уравнение — это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 4. Графиком второго уравнения является парабола с вершиной в точке (1; 5), пересекающая ось ординат в точке (0; 4).

Построенные графики пересекаются в четырех точках (рис. 75). Значит, данная система уравнений имеет 4 решения.

Ответ: 4 решения.

Пример №18

Найдите длину отрезка , если

Решение:

По формуле длины отрезка получим:

Пример №19

Найдите длину диагонали прямоугольника, если заданы его вершина и точка пересечения его диагоналей

Решение:

Найдем длину отрезка

Длина отрезка равна половине диагонали прямоугольника, следовательно, длина диагонали равна 10.

Пример №20

Определите координаты центра и радиус окружности:

а)

б)

в)

Решение:

а)

б)

в)

Пример №21

Какие из данных точек лежат на окружности

а)

б)

в)

г)

Решение:

Подставим координаты точек в уравнение окружности:

а) равенство верное, значит, точка лежит на окружности; б) значит, точка не лежит на окружности;

в) значит, точка не лежит на окружности;

г) равенство верное, значит, точка лежит на окружности.

Пример №22

Запишите уравнение окружности с центром в точке (-1; 1) и радиусом

Решение:

уравнение окружности.

Пример №23

Запишите уравнение окружности с центром в точке , для которой отрезок является радиусом, если А(2; 4), В(5; 7).

Решение:

радиус найдем по формуле расстояния между двумя точками:

Уравнение окружности

Пример №24

Решите систему уравнений используя графический метод.

Решение:

График первого уравнения — прямая, проходящая через точки (3; 0), (0; 3). График второго уравнения — окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 3.

Координаты точек пересечения (3; 0), (0; 3) — решения системы.