Pb1 a как найти

Пусть событие A может наступить при
условии появления одного из несовместных
событий B₁, B₂, …,B_n,
которые образуют полную группу. Пусть
известны вероятности этих событий и
условные вероятности P_B1(A),P_B2(A),
…,P_Bn(A)
события A. Как найти вероятность события
A? Ответ на этот вопрос дает следующая
теорема.

Теорема. Вероятность
события A, которое может наступить лишь
при условии появления одного из
несовместных событий B₁,
B₂, …, B_n,
образующих полную группу, равна сумме
произведения вероятностей каждого из
этих событий на соответствующую условную
вероятность события A:

P(A) = P(B₁)P_B1(A)
+ P(B₂)P_B2(A)
+ … +P(B_n)P_Bn(A).

Эту формулу называют «формулой полной
вероятности».

6.2. Формула Бейеса.

Пусть событие A может наступить при
условии появления одного из несовместных
событий B₁, B₂, …,B_n,
образующих полную группу. Поскольку
заранее неизвестно, какое из этих событий
наступит, их называютгипотезами.
Вероятность события A определяется по
формуле полной вероятности:

P(A) =P(B₁)P_B1(A)
+P(B₂)P_B2(A)
+ … +P(B_n)P_Bn(A).

Допустим, что произведено испытание,
в результате которого появилось событие
A. Поставим своей задачей определить,
как изменились вероятности гипотез.
Другими словами, будем искать условные
вероятности

P_A(B₁),P_A(B₂),
…,P_A(B_n).

Найдем сначала условную вероятность
PA(B1). По теореме умножения имеем

P(AB₁)
=P(A)P_A(B1)
=P(B₁)P_B1(A).

Отсюда

P_A(B)
= (P(B₁)P_B1(A))/P(A).

Заменив здесьP(A)
по формуле полной вероятности, получим

P_A(B₁)
= (P(B₁)P_B1(A))/(P(B₁)P_B1(A)
+ P(B₂)P_B2(A)
+ … +P(B_n)P_Bn(A)).

Аналогично выводятся формулы, определяющие
условные вероятности остальных гипотез,
т. е. условная вероятность любой гипотезы
B_i(i = 1, 2, …,n) может
быть вычислена по формуле

P_A(B_i)
= (P(B_i)P_Bi(A))/(P(B₁)P_B1(A)
+ P(B₂)P_B2(A)
+ … +P(B_n)P_Bn(A)).

Полученные формулы называют формулами
Бейеса(по имени английского математика,
который их вывел; опубликованы в 1764 г.).Формулы Бейеса позволяют переоценить
вероятность гипотез после того, как
становится известным результат испытания,
в итого которого появилось событиеA.

7.

7.1. Повторяющиеся испытания.

Если производится несколько испытаний,
причем вероятность события в каждом
испытании не зависит от исходов других
испытаний, то такие испытания называют
независимыми относительно событияA.

В разных независимых испытаниях событие
A может иметь либо различные вероятности,
либо одну и ту же вероятность. Будем
далее рассматривать лишь такие независимые
испытания, в которых событие A имеет
одну и ту же вероятность.

Ниже воспользуемся понятием сложного
события,понимая под ним совмещение
нескольких отдельных событий, которые
называютпростыми.

Пусть производится n независимых
испытаний, в каждом из которых событие
A может появиться либо не появится.
Условимся считать, что вероятность
события A в каждом испытании одна и та
же, а именно равна p. Следовательно,
вероятность «ненаступления» события
в каждом испытании также постоянна и
равна q = 1 – p.

Поставим перед собой задачу вычислить
вероятность того, что при n испытаниях
событие A осуществится ровно k раз и,
следовательно, не осуществится n – k
раз. Важно подчеркнуть, что не требуется,
что бы событие A повторилось ровно k раз
в определенной последовательности.
Например, если речь идет о появлении
события A три раза в четырех испытаниях,
то возможны следующие сложные события:
AAA~A, AA~AA, A~AAA, ~AAAA.

Искомую вероятность обозначим P_n(k).
Например, символ P₅(3) означает
вероятность того, что в пяти испытаниях
событие появится ровно 3 раза и,
следовательно, не наступит 2 раза.

Поставленную задачу можно решить с
помощью, так называемой формулы Бернулли.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

  09.05.201524.01 Mб42A_Grammar_of_the_English_Language.pdf

• #

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B₁, B₂,…,B_n которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности P_B1(A), P_B2(A),…,P_Bn(A) события А. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 7. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B₁, B₂,…,B_n образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

P(A)=P(B₁)P_B1(A)+P(B₂)P_B2(A)+…+P(B_n)P_Bn(A) (12)

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Доказательство: По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий B₁, B₂,…,B_n. Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий B₁A, B₂A,…,B_nA. Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим:

P(A)=P(B₁A)+P(B₂A)+…+P(B_nA) (*)

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем:

Подставив правые части этих равенств в соотношение (*), получим формулу полной вероятности:

P(A)=P(B₁)P_B1(A)+P(B₂)P_B2(A)+…+P(B_n)P_Bn(A)=P(B_i)P_Bi(A)

Пример 5. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго-0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

Обозначим через А событие «извлеченная деталь стандартна». Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие B₁), либо из второго (событие B₂). Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, Р(B₁)=1/2. Вероятность того, что деталь вынута из второго набора, Р(B₂)=1/2. Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, P_B1=0.8. Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь, P_B2=0.9. Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле полной вероятности равна P(A)=P(B₁)P_B1(A)+P(B₂)P_B2(A)=0.5•0.8+0.5•0.9=0.85

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №35. Вероятность произведения независимых событий.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

• Теорема умножения вероятностей;
• Формула полной вероятности;
• Вероятность произведения двух и более независимых событий.

Глоссарий по теме

Совместные события – события, одновременное появление которых возможно.

Несовместные события – события, одновременное появление которых невозможно.

Независимые события – такие события, вероятности наступления которых не зависит от появления друг друга.

Событие В называется зависимым, если вероятность P(B) зависит от появления или непоявления события А. Вероятность события В, вычисленная в предположении того, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью наступления события В и обозначается P_A(B).

Условная вероятность – вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Гипотеза – одно из событий, которые могут привести к появлению данного события.

Формула полной вероятности

Рассмотрим зависимое событие А, которое может наступить в результате осуществления одного из несовместных событий B₁, B₂, B₃, …, B_n, которые образуют полную группу. Будем называть события B₁, B₂, B₃, …, B_n гипотезами. Пусть известны их вероятности P(B₁), P(B₂), P(B₃), …, P(B_n) и соответствующие условные вероятности наступления события А P_B1(A), P_B2(A), P_B3(A), …, P_Bn(A). Тогда вероятность наступления события А находится по следующей формуле полной вероятности: P(A) = P(B₁)·P_B1(A) + P(B₂)·P_B2(A) + P(B₃)·P_B3(A) +…+ P(B_n)·P_Bn(A).

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-022250-1. с. 194-197

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Задача.

Студент из n билетов знает ответы лишь на m билетов. Найдите и сравните вероятности событий, что студент сдаст экзамен, взяв билет первым, студент сдаст экзамен, взяв билет вторым.

Решение.

Если студент берет билет первым, то вероятность равна m/n (по классическому определению вероятности).

Если студент берет билет вторым, тогда возможны две гипотезы: В₁ — первый отвечающий забрал «хороший билет», В₂ — первый отвечающий забрал «плохой билет». Р(В₁)=m/n, Р(В₂)=(n-m)/n. По формуле полной вероятности

, где Р(А) – вероятность сдать экзамен, идя вторым.

Вероятности равны.

Вспомним теорему произведения вероятностей в общем виде.

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило. P(AB)=P(A)∙P_A(B)

Отметим, если события независимы, получаем выражение теоремы произведения вероятностей независимых событий: P(AB)=P(A)·P(B).

Введём формулу полной вероятности.

Рассмотрим зависимое событие А, которое может наступить в результате осуществления одного из несовместных событий B₁, B₂, B₃, …, B_n, которые образуют полную группу. Будем называть события B₁, B₂, B₃, …, B_n гипотезами. Пусть известны их вероятности P(B₁), P(B₂), P(B₃), …, P(B_n) и соответствующие условные вероятности наступления события А P_B1(A), P_B2(A), P_B3(A), …, P_Bn(A). Тогда вероятность наступления события А находится по следующей формуле полной вероятности: P(A)=P(B₁)·P_B1(A)+P(B₂)·P_B2(A)+P(B₃)·P_B3(A)+…+
+P(B_n)·P_Bn(A).

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Из 20 экзаменационных вариантов по математике 3 варианта содержат простые задачи. Пятерым учащимся произвольно выдают варианты. Найти вероятность того, что хотя бы одному из них достанется вариант с простыми задачами.

1) 137/228

2) 91/228

3) 15/39

4) 41/80

Решение:

A – хотя бы одному из пяти учащихся достанется простой вариант, сформулируем противоположное событие Ᾱ – всем пятерым достанутся непростые варианты.

Данные события являются противоположными, поэтому P(A) + P(Ᾱ) = 1.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:

P(Ᾱ) =17/20·16/19·15/18·14/17·13/16 = 91/228

Тогда P(A) = 1 – P(Ᾱ) = 1 – 91/228 = 137/228 – искомая вероятность

Ответ: P(A) = 137/228 ≈ 0,6.

№2. В первой урне находится 3 белых и 2 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 2 шара. Вероятность того, что из второй урны будет извлечён белый шар, равна:

1. 0,4
2. 0,48
3. 0,52
4. 0,6

Решение:

Рассмотрим зависимое от того, какие по цвету шары переложат из первой урны во вторую, событие А=  «из второй урны извлечён белый шар».

Событие А наступает в одном из следующих случаев:

B₁ – из первой урны во вторую будут переложены два белых шара;
B₂ – будет переложен белый и чёрный шар;
B₃ – будут переложены два чёрных шара.

Вычислим вероятность наступления события А в каждом из случаев.
Переложить два шара из первой урны можно способами.

1. C₃² = 3 способами можно извлечь два белых шара из первой урны.

Тогда  – вероятность того, что из первой урны будут извлечены и переложены 2 белых шара.

В этом случае во второй урне станет 6 белых и 4 чёрных шара. По классическому определению вероятности: P_B1(A) = 6/10 = 3/5 – вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар при условии, что туда переложены 2 белых шара.

2) C₃¹·C₂¹ = 3·2 = 6 способами можно извлечь белый и черный шары из первой урны.

– вероятность того, что из первой урны будут переложены белый и черный шар.

В этом случае во второй урне станет 5 белых и 5 черных шаров. Таким образом, P_B2(A) = 5/10= 0,5 – вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар при условии, что туда переложены белый и чёрный шар.

1. C₂² = 1 способом можно извлечь два черных шара из 1-й урны.

 – вероятность того, что из первой урны будут извлечены и переложены 2 черных шара.

В рассматриваемом случае во второй урне станет 4 белых и 6 черных шаров. Тогда P_B3(A) = 4/10 = 2/5 – вероятность извлечения белого шара из второй урны при условии, что туда переложено два черных шара.

По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей зависимых событий получаем: P(A) = P(B₁A + B₂A + B₃A) = P(B₁A) + P(B₂A) + P(B₃A) = P(B₁)·P_B1(A) + P(B₂)·P_B2(A) + P(B₃)·P_B3(A) = 3/10·3/5 +3/5·1/2 +1/10· =13/25 = 0,52 – вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар.

Ответ: 3) 0,52