Random converter
- Калькуляторы
- Электротехнические и радиотехнические калькуляторы
Калькулятор взаимной индукции
Этот калькулятор определяет взаимоиндукцию двух связанных катушек индуктивности.
Пример. Рассчитать взаимную индуктивность двух расположенных рядом катушек индуктивности 10 мкГн и 5 мкГн с коэффициентом связи 0,5.
Входные данные
Индуктивность первой катушки, L1
Индуктивность второй катушки, L2
миллигенри (мГн)
Коэффициент связи, k
0 ≤ k ≤ 1
Поделиться ссылкой на этот калькулятор, включая входные параметры
Выходные данные
Взаимоиндукция
M миллигенри (мГн)
Введите величины индуктивностей и коэффициента связи, выберите единицы индуктивности в генри (Гн), миллигенри (мГн), микрогенри (мкГн) или пикогенри (пГн) и нажмите кнопку Рассчитать.
В токоизмерительных клещах с разъемным магнитопроводом для безопасного измерения тока без необходимости подключать прибор к схеме используется измерительный трансформатор. В приборе используется явление взаимной индукции. На разъемном магнитопроводе надета катушка, являющаяся вторичной обмоткой измерительного трансформатора. Первичной «обмоткой» является охватываемый магнитопроводом провод с током. Электродвижущая сила, возникающая в катушке на магнитопроводе, пропорциональна току, текущему в проводнике, охваченном клещами. Прибор измеряет напряжение на зажимах катушки и указывает на дисплее значение измеряемого тока.
Калькулятор определит взаимоиндукцию M двух связанных катушек индуктивности по формуле:
где k — коэффициент связи, L₁ — индуктивность первой катушки и L₂ — индуктивность второй катушки. Коэффициент связи определяется как отношение взаимоиндукции двух катушек к максимально возможному значению их взаимоиндукции. Коэффициент связи изменяется в пределах от 0 до 1 и зависит от близости катушек или обмоток, материала их сердечника, их взаимной ориентации, формы и количества витков. У слабо связанных катушек или обмоток коэффициент связи k < 0.5. У сильно связанных катушек коэффициент связи k > 0.5. Если две катушки плотно намотаны одна над другой на общем ферромагнитном сердечнике, их связь почти идеальна и значение коэффициента связи k приближается к единице. Если же расстояние между катушками велико, значение k очень мало и приближается к нулю.
Тороидальные трансформатор и дроссель в импульсном блоке питания
Пример расчетов. Коэффициент связи двух катушек с индуктивностью 2 мкГн и 3 мкГн равен 0,5. Взаимоиндукция в микрогенри определяется как
Две катушки с взаимной индукцией на принципиальной схеме
При увеличении силы тока, протекающего через катушку индуктивности L₁ от внешней цепи, вокруг катушки создается увеличивающееся магнитное поле, в котором сохраняется энергия. При уменьшении тока магнитное поле также уменьшается. При этом на выводах катушки возникает напряжение (ЭДС самоиндукции) в направлении, противоположном направлению тока, и сохраняемая в магнитном поле энергия отдается обратно во внешнюю цепь. Если рядом с первой катушкой поместить вторую катушку L₂, то магнитное поле, возникшее в первой катушке, создаст напряжение во второй катушке. Если общее магнитное поле пронизывает несколько катушек, говорят, что у них имеется взаимная индукция. Она обычно обозначает буквой M и измеряется в единицах индуктивности (генри).
Взаимоиндукция в вашем автомобиле: для создания искры в свечах зажигания используется катушка зажигания, представляющая собой трансформатор с высоким коэффициентом трансформации. Когда ток через первичную обмотку с малым числом витков прерывается, очень большая ЭДС возникает во вторичной обмотке с большим числом витков, которая достаточна для создания искры в зазоре автомобильной свечи зажигания
В обратной ситуации, если ток течет в катушке L₂, а наводится ток в катушке L₁, взаимоиндукция будет той же. Отметим, что электродвижущая сила (ЭДС) возникает только при изменении тока, причем чем быстрее изменяется ток, тем больше будет ЭДС. То есть, ЭДС взаимной индукции прямо пропорциональна скорости изменения тока
Явление взаимной индукции используется в трансформаторах, электродвигателях, генераторах и других устройствах, в которых для функционирования необходимо взаимодействие с магнитным полем. В то же время взаимоиндукция часто бывает нежелательной, когда возникает паразитная индуктивная связь между проводниками в схеме или даже между силовыми кабелями и металлическими кабельными каналами, в которых они помещены.
Примеры расчетов
Расчет взаимоиндукции двух катушек индуктивности 110 мкГн и 130 мкГн с коэффициентом связи 0,5
Расчет взаимоиндукции двух катушек индуктивности 2,4 мкГн и 3 мкГн с коэффициентом связи 0,25
Расчет взаимоиндукции двух катушек индуктивности 1,1 мкГн и 1,3 мкГн с коэффициентом связи 0,5
Расчет взаимоиндукции двух катушек индуктивности 36 мкГн и 43 мкГн с коэффициентом связи 0,5
Расчет взаимоиндукции двух катушек индуктивности 4,3 микрогенри и 5,1 микрогенри с коэффициентом связи 0,25
Расчет взаимоиндукции двух катушек индуктивности 75 микрогенри и 91 микрогенри с коэффициентом связи 0,25
Расчет взаимоиндукции двух катушек индуктивности 10 миллигенри и 12 миллигенри с коэффициентом связи 0,25
Расчет взаимоиндукции двух катушек индуктивности 3,3 мГн и 3,9 мГн с коэффициентом связи 0,25
Расчет взаимоиндукции двух катушек индуктивности 120 миллигенри и 150 миллигенри с коэффициентом связи 0,75
Расчет взаимоиндукции двух катушек индуктивности 430 мкГн и 510 мкГн с коэффициентом связи 0,25
Электротехнические и радиотехнические калькуляторы
Электроника — область физики и электротехники, изучающая методы конструирования и использования электронной аппаратуры и электронных схем, содержащих активные электронные элементы (диоды, транзисторы и интегральные микросхемы) и пассивные электронные элементы (резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы), а также соединения между ними.
Радиотехника — инженерная дисциплина, изучающая проектирование и изготовление устройств, которые передают и принимают радиоволны в радиочастотной области спектра (от 3 кГц до 300 ГГц), также обрабатывают принимаемые и передаваемые сигналы. Примерами таких устройств являются радио- и телевизионные приемники, мобильные телефоны, маршрутизаторы, радиостанции, кредитные карточки, спутниковые приемники, компьютеры и другое оборудование, которое передает и принимает радиосигналы.
В этой части Конвертера физических единиц TranslatorsCafe.com представлена группа калькуляторов, выполняющих расчеты в различных областях электротехники, радиотехники и электроники.
На этих страницах размещены конвертеры единиц измерения, позволяющие быстро и точно перевести значения из одних единиц в другие, а также из одной системы единиц в другую. Конвертеры пригодятся инженерам, переводчикам и всем, кто работает с разными единицами измерения.
Мы работаем над обеспечением точности конвертеров и калькуляторов TranslatorsCafe.com, однако мы не можем гарантировать, что они не содержат ошибок и неточностей. Вся информация предоставляется «как есть», без каких-либо гарантий. Условия.
Если вы заметили неточность в расчётах или ошибку в тексте, или вам необходим другой конвертер для перевода из одной единицы измерения в другую, которого нет на нашем сайте — напишите нам!
Канал Конвертера единиц TranslatorsCafe.com на YouTube
Содержание:
Цепи с взаимной индукцией:
При рассмотрении цепей, отдельные ветви которых связаны между собой взаимоиндуктивкостью М , нужно ввести понятие об одноименных зажимах контуров. Зажимы двух контуров называются одноименными, если при одинаковом направлении токов относительно этих зажимов магнитные потоки самоиндукции ФL и взаимоиндукции ФM в каждом контуре совпадают по направлению. Одноименность зажимов контуров, например катушек, зависит от их взаимного расположения и направления намотки.
Из рис. 11.1, а, например, видно, что в катушках 1 и 2 с одинаковым направлением намотки одноименными являются зажимы а и b (обозначены точками), а также зажимы b и d. Если сдвинуть катушку i в положение, показанное на рис. 11.1, б, потоки взаимоиндукции Фм1 и Фм2 при том же направлении токов окажутся направленными навстречу и одноименными должны стать зажимы а и d (соответственно b и с).
Выбирая в обеих катушках положительные направления э. д. е., напряжений и токов относительно одноименных зажимов одинаковыми, при мгновенном значении тока i1 в первом контуре и разомкнутом втором, мгновенные значения э. д. с. самоиндукции eLl и напряжения uLl первой катушки, пренебрегая ее активным сопротивлением:
и аналогично э. д. с. взаимоиндукции еМ2 и напряжение uм2 второй:
Здесь — потокосцепления самоиндукции первой и взаимоиндукции второй катушек.
При синусоидальном токе для комплексных величин
Величина ωМ, имеющая размерность сопротивления, называется сопротивлением взаимоиндуктивности хM; комплексное сопротивление взаимоиндуктивности
Последовательное и параллельное соединения с взаимной индукцией
При последовательном соединении катушек (рис. 11.2, а и б) ток в них один и тот же, а приложенное напряжение должно преодолеть все э. д. с. и сопротивления цепи. При согласном включении катушек (см, рис. 11.2, а), когда магнитные потоки самоиндукции и взаимоиндукции в обеих катушках направлены одинаково, э. д. с. самоиндукции и взаимоиндукции имеют одинаковые знаки.
При встречном включении катушек (см. рис. 11.2, б) магнитные потоки самоиндукции и взаимоиндукции направлены в противоположные стороны и э. д. с. взаимоиндукции имеет знак, обратный знаку э. д. с. самоиндукции.
Тогда приложенное напряжение при обходе контура по принятому положительному направлению тока
где r1 и r2 — активные сопротивления первой и второй катушек; L1 и L2 — их индуктивности, М — взаимоиндуктивность; верхний знак соответствует согласному, нижний — встречному включению. Для синусоидального напряжения и тока это же соотношение может быть записано в комплексной форме:
Следовательно, результирующие индуктивности катушек и всей цепи при согласном включении
при встречном включении
С увеличением М, например при сближении катушек, результирующие индуктивности при согласном включении увеличиваются, при встречном — уменьшаются. При М > L2 результирующая индуктивность L2 второй катушки при встречном включении становится отрицательной. Это значит, что вектор индуктивного напряжения U2L этой катушки получает направление, противоположное векторам индуктивного напряжения UlL первой катушки и UL всей цепи; при этом, очевидно, UlL > U2L и UlL > UL (рис. 11.3). Таким образом, вектор U2L отстает по фазе от вектора тока I на π/2, а на первом участке возникает повышенное напряжение, как будто вместо второй катушки включен конденсатор; это может быть названо случаем ложной емкости. При этом цепь в целом носит индуктивный характер.
Из выражений для результирующих индуктивностей всей цепи для согласного L’ и встречного L» включения можно вычислить взаимоиндуктивность
В других схемах включения катушек, связанных взаимоиндукцией, токи в них в общем случае сдвинуты по фазе; следовательно, часть периода потоки самоиндукции и взаимоиндукции в обеих катушках будут согласными, остальную часть — встречными. Однако принимается, что включение является согласным, если относительно одноименных зажимов совпадают выбранные положительные направления токов.
При параллельном соединении катушек (рис. 11.4) их напряжение одинаково. Тогда уравнения равновесия напряжений для первой и второй катушек, соответственно, для мгновенных значений и комплексов имеют вид:
Здесь верхний знак относится к согласному включению (рис. 11.4, а), а нижний — к встречному (рис. 11.4, б).
Если пренебречь активными сопротивлениями катушек, из этих уравнений вытекает, что
Здесь — мгновенное значение, а
— комплекс тока цепи до разветвления.
Стедовательно, результирующие индуктивности первой и второй катушек и всей цепи при согласном и встречном включении будут:
Пусть. В случае согласного включения результирующая индуктивность L1 первой катушки при
делается равной
бесконечности; это значит, что э. д. с. взаимоиндукции уравновешивает приложенное напряжение, и ток первой катушки становится равным нулю. При М > L2 имеет место явление ложной емкости: индуктивность L1 становится отрицательной, и вектор тока I1 этой катушки получает направление, противоположное векторам тока I2 второй катушки и I всей цепи (рис. 11.5); вектор ft опережает по фазе вектор напряжения U на π/2, как будто вместо первой катушки включен конденсатор, при этом, очевидно,
Для плавного изменения индуктивности применяют вариометры, состоящие из двух катушек. Меньшая катушка помещена внутри большей и может поворачиваться (рис. 11.6). При совпадении их осей взаимоиндуктивность максимальна: М = Мmах. При повороте М. уменьшается и при прямом угле между осями М= 0. Соединяя катушки параллельно и последовательно, можно получить плавное вменение результирующей индуктивности в пределах от минимального значения при параллельном встречном соединении до максимального при последовательном согласном включении, т. е. от
Если уравнять ее максимальное значение при параллельном согласном включении с минимальным значением при последовательном встречном включении, то
Расчет сложных цепей с взаимной индукцией
Расчет сложных цепей со взаимной индукцией можно вести символическим методом по законам Кирхгофа, так как последние справедливы для любых цепей, но в уравнениях по второму закону Кирхгофа в выражения для напряжений катушек должны быть добавлены комплексные напряжения взаимной индукции вида ± В соответствии со сказанным в положительный знак у этого комплекса должен быть выбран при совпадении относительно одноименных зажимов ! направления обхода катушки р и направления тока в катушке q. При несовпадении указанных направлений комплекс должен получить отрицательный знак.
В качестве примера приведена система уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа для цепи рис. 11.7 в соответствии с указанными на схеме положительными направлениями э. д. с. и одноименными зажимами, а также выбранными направлениями токов ветвей и обхода контуров:
Для расчета цепей со взаимной индукцией применим также метод контурных токов, так как его вывод был основан на втором законе Кирхгофа, учитывающем э. д. с. взаимной индукции. Уравнения для контурных токов получают вид:
где МAв — взаимоиндуктивность катушек контуров А и В и т. п.. а знак выбирается соответственно сказанному выше. Сопротивление взаимной индукции удобно добавить к взаимным сопротивлениям контуров:
При этом правило знаков изменяется на обратное: при совпадении направлений обхода катушки контура A и тока в катушке контура В у комплекса в должен быть выбран отрицательный знак, и наоборот. Тогда, например, система уравнений для контурных токов
цени рис. 11.7 получит вид:
Метод наложения, основанный на линейности уравнений, составленных по законам Кирхгофа, также применим, так как и при наличии взаимной индукции уравнения остаются линейными. Это же относится к методу эквивалентного источника энергии при условии, что ток или напряжение определяются для ветви, не связанной взаимной индукцией с остальной частью цепи.
Метод узловых напряжений для цепей со взаимной индукцией неприменим, так как его вывод основан на первом законе Кирхгофа, который не позволяет непосредственно учесть э. д. с. взаимной индукции. В общем случае цепей со взаимной индукцией неприменим и метод преобразования, так как он основан на использовании кроме второго, также и первого закона Кирхгофа.
Трансформатор без стального сердечника
Широкое применение в электротехнике имеет трансформатор — статическое устройство, предназначенное для преобразования величины переменных напряжений и токов. В простейшем случае он не имеет ферромагнитного сердечника и представляет собой две катушки с индуктивной связью (рис. 11.8); такие трансформаторы применяются в радиотехнике.
Напряжение их источника приложено к первичной катушке трансформатора, к вторичной катушке подключена нагрузка.
Тогда уравнения по второму закону Кирхгофа для первичной и вторичной цепей при показанных на рис. 11.8 одноименных зажимах и положительных направлениях токов, при которых потоки самоиндукции и взаимоиндукции складываются, получают следующий вид:
где u2 — напряжение на приемнике, a r1, L1, и r2, L2 — сопротивление и индуктивность, соответственно, первичной и вторичной катушек.
При холостом ходе вторичная катушка разомкнута и ток первичной цепи индуктирует во вторичной э. д. с. взаимоиндукции
При синусоидальном законе изменения величин комплекс э. д. с. холостого хода
При сопротивлении приемника уравнения трансформатора в комплексной форме имеют вид:
Здесь— суммарные активное и реактивное сопротивления вторичной цепи, где
Из второго уравнения может быть определен комплекс вторичного тока:
Так как исходные уравнения были составлены в предположении, что потоки, пропорциональные токам, складываются, . знак минус в этом выражении, связывающем комплексы токов I1 и I2, указывает на то, что векторы этих токов составляют тупой угол; в пределе, при =0, токи находятся в противофазе. Полученный результат соответствует правилу Ленца о направлении индуктированного тока.
Переход от комплекса вторичного тока к его действующему значению дает:
откуда может быть определен коэффициент трансформации тока
Из этих соотношений видно, что коэффициент трансформации тока не является постоянной величиной, а зависит от сопротивления приемника. Можно показать, что коэффициент трансформации напряжения также зависит от сопротивления приемника.
После подстановки значения I2 в первое уравнение трансформатора получается выражение первичного тока:
откуда видно, как будет изменяться ток I1 при изменении сопротивления приемника.
В знаменателе выражения для I2 стоит результирующее полное сопротивление цепи, эквивалентной трансформатору. Результирующее активное сопротивление
состоит из суммы активного сопротивления первичной цепи и сопротивления, вносимого вторичной цепью,
Средняя (активная) мощность, потребляемая трансформатором,
т. е. равна сумме мощностей первичной и вторичной цепи, а к. п. д. трансформатора
Результирующее реактивное сопротивление
состоит из разности реактивного сопротивления первичной цепи х1 и сопротивления x2π вносимого вторичной цепью. При индуктивном характере нагрузки xπ > 0 и вносимое реактивное сопротивление
т. е. x2 < х1 так как коэффициент связи
Следовательно, результирующее реактивное сопротивление х = х1 — x2 трансформатора при индуктивной нагрузке имеет также индуктивный характер и эффект ложной емкости невозможен.
При емкостной нагрузке хπ= — xс, и вносимое реактивное сопротивление
При хс > х2 сопротивление х2 <0. Следовательно, результирующее реактивное сопротивление х > x1 и носит индуктивный характер. При xс < х2 и достаточно большом значении коэффициента трансформации тока k1 сопротивление х может стать отрицательным, т. е. также получить емкостный характер.
Уравнения трансформатора могут быть представлены в следующем виде:
Эти же уравнения по второму закону Кирхгофа являются уравнениями для двух элементарных контуров Т-образной цепи рис. 11.9 при принятых на ней направлениях токов; следовательно, трансформатор, т. е. цепь с индуктивной связью, может быть заменен эквивалентной схемой с кондуктивной связью контуров.
Если значение М лежит между L1 и L2, например L1 < М < L2, то L1 — М отрицательно, что эквивалентно емкости; получается схема, в которой возможно соотношение U2 > U1, что имеет место в трансформаторе, повышающем напряжение. При Ll> М > L2 емкостный характер получает элемент L2— М, что делает возможным соотношение I1 < I2, имеющее место в трансформаторе, понижающем напряжение.
В трансформаторе с одинаковым числом витков катушек ω1= ω2= ω) L1, L2 и М пропорциональны соответственно полным потокам и потокам взаимоиндукции, создаваемым катушками. В этом случае разности L1 — М и L2 — М имеют физический смысл, являясь, очевидно, индуктивностями рассеяния первичной Lsl и вторичной Ls2 катушек трансформатора . В таком трансформаторе результирующая и. с.
пропорциональна току и потоку намагничивающей ветви М эквивалентной схемы, а напряжение на зажимах этой ветви равно и обратно по знаку э. д. с.
индуктируемых потоком взаимоиндукции в обеих катушках.
Трансформатор и катушка индуктивности со стальным сердечником
Трансформатор со стальным сердечником:
В электротехнике обычно применяют трансформаторы со стальным сердечником— магнитопроводом 3 стержневого (рис. 11.10, а) или броневого (рис. 11.10, б) типа; расположение первичной 1 и вторичной 2 обмоток (катушек) также показано на рис. 11.10.
При применении ферромагнитного магнитопровода та же взаимоиндуктивность, благодаря большому значению магнитной проницаемости µ стали по сравнению с µ0, может быть получена при меньших числах витков ω1 и ω2 первичной и вторичной катушек и меньших размерах трансформатора, т. е. при малом расходе стали на магнито-провод и меди на его обмотки.
Потоки рассеяния, проходящие в основном по воздуху (пунктир на рис. 11.10), и соответствующие им индуктивности рассеяния 2Lsl и Ls2 также уменьшатся при уменьшении размеров трансформатора. Поэтому коэффициент связи возрастет, что следует из его выражения для трансформатора ω1 = ω2:
В трансформаторе со стальным сердечником может быть достигнут коэффициент связи, близкий к единице.
Потери в сердечнике на вихревые токи и гистерезис. Эквивалентная схема трансформатора
Периодическое перемагничивание стального сердечника вызывает потери на вихревые токи и гистерезис.
Вихревыми, или токами Фуко, называются токи, индуктируемые в магнитопроводе переменным магнитным потоком, созданным н. с. первичной и вторичной обмоток; следовательно, вихревые токи также являются следствием взаимоиндукции. Для уменьшения потерь и размагничивающего действия от вихревых токов применяют чаще всего магнитопроводы, состоящие из листов специальной стали, изолированных друг от друга; их разделение следует производить так, чтобы плоскости листов были направлены вдоль линий магнитной индукции.
Далее произведён расчет потерь на вихревые токи в листе стали толщиной а, шириной h > а и длиной l (рис. ll.il), пронизываемом магнитным потоком, изменяющимся по синусоидальному закону. Максимальное значение индукции Вm во всех точках сечения листа принимается одинаковым и сопротивление путей вихревых токов активным, что будет иметь место при пренебрежении размагничивающим действием вихревых токов, т. е. магнитным поверхностным эффектом .
Элементарный контур вихревого тока в виде полого цилиндра высотой l с прямоугольным основанием, имеющим длину 2х, ширину, принимаемую равной h, и толщину стенки dx, пронизывается магнитным потоком, максимальное значение которого
Действующее значение э. д. е., индуктируемой в элементарном контуре,
Активное сопротивление элементарного контура
Тогда мощность, расходуемая в элементарном контуре на вихревые токи,
Мощность, расходуемая во всем листе,
где V = hla — объем листа. Отсюда видно, что потери в единице объема стали пропорциональны квадрату частоты и квадрату толщины листов, и, следовательно, разделение стали магнитопровода на тонкие листы приводит к уменьшению потерь на вихревые токи.
В эквивалентной схеме трансформатора необходимо учесть потери на вихревые токи добавлением ветви, потребляющей ту же мощность. Для этого дополнительное активное сопротивление rB надо включить на напряжение U0 намагничивающей ветви М (рис. 11.12 для трансформатора с ω1= ω2= ω), так как тогда потребляемая им мощность РB будет находиться в квадратичной зависимости от индукции и частоты, как и потери на вихревые токи:
Величина сопротивления rв должна быть такой, чтобы потери Р’в нем равнялись потерям Рв в стали на вихревые токи:
Oткуда
где V, S и b — объем, сечение и средняя длина магнитопровода.
Мощность потерь на гистерезис Рг при частоте f легко получить из формулы Штейнмеца для энергии Wr, затраченной на один цикл перемагничивания:
где коэффициент η зависит от материала, а V — объем магнитопровода. Линейная зависимость этих потерь от частоты в отличие от квадратичной зависимости потерь на вихревые токи может быть использована для разделения суммарных потерь в стали, если они известны для двух частот при одной и той же индукции Вm.
В схеме, эквивалентной трансформатору, потери Рг на гистерезис учитываются сопротивлением включаемым также параллельно намагничивающей ветви (см. рис. 11.12).
Величина rr определяется аналогично из равенства потерь в сопротивлении и в стали. Если принять последние пропорциональными , то
откуда
т. е., помимо конструктивных данных, гг зависит от частоты.
Обычно сопротивления rв и rr объединяются в сопротивление ветви потерь в стали Важно отметить, что при малых потерях в стали сопротивление r0 должно быть велико, так как оно включается в схему параллельно.
Специальные электротехнические стали с малыми удельными потерями на гистерезис и вихревые токи имеют толщину от 0,5 до 0,1 мм, более тонкие листы приходится применять при повышенной частоте. В радиоэлектронике и вычислительной технике применяются также сердечники из спрессованной смеси ферромагнитного порошка с изолирующим материалом и из ферритов, получаемых спеканием окислов магнитных и немагнитных материалов.
Векторная диаграмма трансформатора
Векторная диаграмма при активно-индуктивной нагрузке для эквивалентной схемы рис. 11.12 и тем самым для трансформатора с ω1= ω2 и со стальным магнитопроводом показана на рис. 11.13 Нелинейность катушек со стальным сердечником при водит к тому, что при синусоидальном напряжении ток i0 намагничивающей ветви будет несинусоидальным Ввиду малости этого тока по сравнению с практически синусоидальными токами i1 и i2 при нагрузке трансформатора можно этим явлением пренебречь, считать все токи синусоидальными и изображать их векторами.
Векторная диаграмма строится в соответствии с положительными направлениями напряжений и токов, принятыми на схеме рис. 11.9. Исходным вектором удобно принять вектор потока взаимоиндукции Фm затем строятся векторы э. д. с. , отстающие по фазе от Фm на угол π/2. Напряжением
определяется реактивный ток
в намагничивающей ветви и активный Iоа — в ветви потерь. Эти токи в сумме дают вектор намагничивающего тока I0, опережающий вектор потока Фm на угол потерь δ. Вторичный ток I2 отстает по фазе от своей э. д. с.
первичный ток находят из соотношения
Первичное U1 и вторичное U2 напряжения определяются выражениями
Как видно из диаграммы, в трансформаторе ω1= ω2 напряжения и токи входа и выхода не равны друг другу и соотношения между ними определяются нагрузкой.
Линейная теория катушки индуктивности со стальным сердечником
При холостом ходе трансформатора, т. е. при разомкнутой вторичной цепи, его эквивалентная схема упрощается (рис. 11.14, а). Очевидно, что трансформатор в этом режиме аналогичен катушке со стальным сердечником, часто применяемой в электротехнике. Тогда схема рис. 11.14, а является также эквивалентной схемой катушки, если намагничивающую ветвь характеризовать не взаимоиндуктивностью М, а равной ей индуктивностью где Rm — магнитное сопротивление магнитопровода; в эквивалентной схеме катушки r — активное сопротивление обмотки, Ls — ее индуктивность рассеяния, r0—сопротивление ветви потерь.
Здесь также часто пренебрегают нелинейностью L и строят векторную диаграмму; по сравнению со случаем нагруженного трансформатора погрешность получается бoльшей.
За исходный вектор векторной диаграммы (рис. 11.14, 6) удобно принять вектср потока Фm в магнитопроводе; вектор э. д. с. отстает на π/2 от Фm. Напряжение
создает реактивный ток 1 г в ветви L и активный Iа в ветви г0, которые в сумме дают вектор I тока катушки. Напряжение на зажимах катушки
Из-за наличия потерь в меди и стали сдвиг по фазе между напряжением U и током I меньше π/2.
Теория катушки со стальным сердечником, учитывающая нелинейность L.
Резонанс в двух индуктивно связанных цепях
Явление резонанса в связанных цепях широко используется в технике связи, в особенности в радиотехнике — в передающих и приемных устройствах.
Связанными называются цепи, имеющие общую ветвь в действительной или эквивалентной схеме. Примером может служить индуктивная связь, осуществляемая при помощи общего индуктивного сопротивления (рис. 11.15, а) или путем электромагнитной индукции —трансформаторная связь (рис. 11.15, б). Оба эти вида индуктивной связи будут эквивалентны друг другу, если полные индуктивности Ll и L2 обоих контуров соответственно равны друг другу, a L12= М.
Степень связи цепей характеризуется коэффициентом связи k, который в общем случае представляет собой отношение сопротивления обшей ветви к корню квадратному из произведения одноименных с ним сопротивлений каждого из двух связанных контуров, причем в сопротивление контуров должно быть включено и сопротивление общей ветви. Тогда для простой индуктивной связи (рис. 11.15, а)
для трансформаторной связи (рис. 11.15, б) получается известное выражение
Пусть резонансная частота обеих цепей рис. 11.15, б одинакова:
Если пренебречь активным сопротивлением вторичной цепи (r2 = 0), то из следует, что реактивное сопротивление всей цепи рис. 11.15, б, а следовательно, и эквивалентной ей цепи рис. 11.15, а равно:
При частоте т. е. в разветвленной части схемы рис. 11.15, а, эквивалентной исследуемой цепи рис. 11.15, б, имеет место резонанс токов. При наличии во вторичном контуре небольшого активного сопротивления кривая
при U1= const также проходит через минимум, но
(рис. 11.16).
В исследуемой цепи происходит резонанс напряжений, и ток получает максимальное значение при условии х = 0, откуда
Если разделить обе части этого равенства на и учесть выражения для резонансной частоты ω0 обоих контуров и коэффициента связи k, условие резонанса напряжении получает вид:
откуда
Следовательно, имеются две частоты, при которых величина I1 максимальна; резонанс напряжений имеет место между левой и разветвленной правой частью схемы рис. 11.15, а; причем для меньшей из этих частот сопротивление левой части эквивалентной схемы носит емкостный характер, а правой — индуктивный, для большей частоты — наоборот.
Решение уравнений для этой цепи относительно тока I2 приводит к выводу, что кривая I2 (ω) при Ul = const и малом активном сопротивлении также имеет два максимума при тех же частотах в то время как минимума эта кривая достигает при частоте, несколько большей, ω0(рис. 11.16).
Следовательно, в отличие от кривой I (ω) при U = const для уединенного контура с L и С, имеющей один максимум при последовательном соединении (см. рис. 7.6) или один минимум при параллельном соединении (см. рис. 7.10), резонансные кривые, т. е. частотные характеристики I1(ω) и I2(ω) цепи, состоящей из двух связанных контуров с малым активным сопротивлением, имеют два максимума и один минимум. Выражения для резонансных частот могут служить для нахождения коэффициента связи:
При больших активных сопротивлениях точки резонансов сливаются, и резонансные кривые будут иметь только по одному максимуму.
Электрические цепи с взаимной индуктивностью
Переменная магнитная связь:
Индуктивность двух взаимосвязанных катушек можно изменить, если кроме магнитной связи эти катушки соединены электрически. Индуктивность таких катушек зависит от их соединения и взаимного расположения относительно друг друга.
Устройство, дающее возможность изменять магнитную связь (коэффициент связи К) двух контуров или катушек, называют вариометром.
Вариометр представляет собой две катушки, одна из которых (2) может поворачиваться внутри неподвижной катушки (1), изменяя
при этом угол между магнитными потоками катушек (рис. 15.1).
В зависимости от взаимного расположения этих катушек различают их согласное и встречное включение.
При согласном включении угол между магнитными потоками катушек не превышает
и магнитные потоки катушек при этом суммируются.
При встречном включении угол между магнитными потоками катушек превышает
и магнитные потоки при этом вычитаются.
Схема замещения последовательно соединенных катушек вариометра изображена на рис. 15.2а.
При согласном включении катушек суммируются ЭДС самоиндукции, созданные магнитными потоками
Также суммируются ЭДС взаимоиндукции, созданные потоками одной катушки, пронизывающие витки другой катушки:
При последовательном соединении катушек (рис. 15.2а)
Составляется уравнение по второму закону Кирхгофа для первой катушки:
или
или в комплексной форме
Для второй катушки:
или
или в комплексной форме
Напряжение, приложенное к последовательно включенным катушкам (входное напряжение), определяется по формуле
Тогда
Векторная диаграмма цепи при последовательном согласном включении двух катушек показана на рис. 15.2б.
Как следует из (15.3), общая индуктивность двух катушек вариометра при их согласном включении:
Таким образом, при согласном включении катушек ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции складываются: (15.1) и (15.2). При встречном включении тех же катушек ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции вычитаются:
Для второй катушки:
Тогда напряжение, приложенное к встречно включенным катушкам, определяется выражением
Из выражения (15.7) следует, что общая индуктивность двух катушек вариометра при их встречном включении:
Сравнивая (15.4) и (15.8), видим, что суммарная (эквивалентная) индуктивность двух магнитосвязанных катушек и, следовательно, их индуктивное сопротивление при согласном включении больше, чем при встречном:
Следовательно, ток магнитосвязанных катушек при согласном включении меньше, чем ток
при их встречном включении, т. е.
Если обмотку катушки выполнить двумя рядом расположенными изолированными проводами, соединенными электрически с одной стороны (концами или началами), то получится встречное включение, при котором При этом общая индуктивность согласно (15.8) будет равна нулю
Безындуктивные катушки, намотанные таким двойным проводом, называются бифилярными.
В ряде случаев явление взаимоиндукции бывает полезным (трансформаторы). Иногда это явление бывает нежелательным, например, если параллельно линии электропередачи расположена линия связи.
Воздушный трансформатор
Рассмотрим в качестве примера расчета индуктивно связанных цепей воздушный трансформатор, который состоит из двух индуктивно связанных катушек (обмоток), намотанных одна на другую (рис. 15.3а).
Первичная обмотка трансформатора присоединена к источнику с напряжением а к вторичной обмотке с напряжением
подключается приемник, например, с активным сопротивлением R.
Положительные направления выбираются так, чтобы ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции суммировались (согласное включение):
Таким образом, напряжение, приложенное к первичной обмотке трансформатора состоит из активной составляющей
совпадающей по фазе с током
(рис. 15.36), реактивной составляющей
опережающей ток
по фазе на 90°, и составляющей
опережающей по фазе ток
на 90°.
Сопротивление первичной обмотки трансформатора равно
Так как во вторичной цепи отсутствует источник питания, т.е. то по второму закону Кирхгофа можно записать:
где — напряжение на приемнике R или на клеммах вторичной обмотки, a
— сопротивление вторичной цепи.
ЭДС взаимоиндукции во вторичной обмотке будет равно
На векторной диаграмме (рис. 15.3б) показано, что отстает по фазе от тока
на 90° и равна сумме падений напряжений на сопротивлениях
Из выражения (15.11) определяется ток вторичной цепи
Подставив выражение (15.12) для тока в (15.9), можно определить
где — входное сопротивление нагруженного трансформатора.
Слагаемое называют вносимым сопротивлением в первичную цепь, т.е.
Следовательно, для источника питания нагруженный трансформатор можно представить простой схемой замещения (рис. 15.4).
Тогда по закону Ома
Откуда
Таким образом, при заданных параметрах первичной и вторичной цепей и напряжений источника питания можно рассчитать токи и построить векторную диаграмму (рис. 15.36).
В режиме холостого хода, когда ток
и напряжение вторичной обмотки
Цепи со взаимной индуктивностью
Изменение тока в электрической цепи приводит к соответствующему изменению магнитного потока, который, в свою очередь, приводит к появлению ЭДС самоиндукции, обусловленной скоростью изменения потокосцепления
При анализе цепей с синусоидальными токами мы познакомились с явлением самоиндукции, то есть наведением ЭДС в электрической цепи при изменении магнитного потока, обусловленного изменением тока в этой же цепи:
Кроме явления самоиндукции, в электрических цепях возможно возникновение взаимной индукции. Физически это можно объяснить так: изменение тока в одной цепи вызывает изменение величины потокосцепления взаимной индукции в другой и наоборот. В данном случае говорят, что эти цепи индуктивно связаны.
Для исследования данного явления рассмотрим две катушки (рис. 6.1).
Рис. 6.1. Индуктивно связанные катушки
Пусть, например, в катушке 1 протекает ток а во второй — ток отсутствует. Тогда
вызывает магнитный поток
который пронизывает все витки первой катушки и вызывает ЭДС самоиндукции. Поскольку катушки находятся достаточно близко друг от друга, то часть силовых линий
пронизывает витки второй катушки, где
— это часть
пронизывающая катушку 2. Очевидно, что
Соответственно:
— потокосцепление первой катушки;
— потокосцепление второй катушки.
В итоге получим индуктивность первой катушки и взаимную индуктивность обеих катушек
в виде:
Аналогичная картина могла бы иметь место при протекании тока во второй катушке и отсутствии тока в первой катушке:
Т.к. магнитные свойства среды, заполняющей катушки (воздух), неизменны, то — взаимная индуктивность двух катушек (индуктивная связь) — величина неизменная и зависит только от взаимного положения и чисел витков катушек. Степень индуктивной связи характеризуется коэффициентом:
ЭДС взаимоиндукции
На основании закона электромагнитной индукции изменение магнитного потока катушки вызывает ЭДС самоиндукции, которая при линейности катушки может быть определена следующим образом:
В соответствии с законом Ленца (законом электромагнитной инерции) эта ЭДС препятствует изменению потокосцепления. Приложенное к катушке напряжение уравновешивает ЭДС самоиндукции:
Для двух индуктивно связанных катушек изменение тока в одной приводит к изменению величины потокосцепления в другой и, наоборот, при этом:
Величины в общем случае могут иметь различные знаки, которые будут определяться направлением тока в индуктивно связанных катушках. Покажем это на примере двух катушек, намотанных на общий сердечник (рис. 6.2 и 6.3).
Рис. 6.2. Варианты намотки катушек с согласно направленными магнитными потоками
Рис. 6.3. Варианты намотки катушек со встречно направленными магнитными потоками
Из анализа этих рисунков можно сделать вывод, что направление результирующего магнитного потока определяется не только направлением тока относительно зажимов, но и направлением намотки данных катушек. С целью единообразия в изображении способа соединения катушек прибегают к маркировке их зажимов (точки, звёздочки и т.д.).
Правило. Если относительно маркированных зажимов токи протекают одинаково, то магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции складываются, в противном случае вычитаются. При этом в первом случае говорят о согласном, а во втором — о встречном включении катушек.
Теперь перейдём к вопросу о знаке ЭДС взаимной индукции.
Пусть клеммы первой катушки разомкнуты, а во второй протекает ток указанного направления (рис. 6.4).
Выберем положительные направления ЭДС взаимной индукции и напряжения на её зажимах совпадающими. Ток создает поток взаимной индукции
который пронизывает витки первой катушки и наводит между зажимами
и
ЭДС взаимной индукции.
Рис. 6.4. Схема, иллюстрирующая знак ЭДС взаимной индукции
Исходя из выбранных направлений токов, напряжений и ЭДС, можно сделать вывод о том, что наводимая на зажимах первой катушки ЭДС взаимной индукции должна препятствовать изменению потока
и поэтому должна быть направлена от
к
т.е. встречно выбранному его положительному направлению, т.е. получится отрицательным. Исходя из этого:
Если то
Если то
Используя аналогичные рассуждения, можно получить выражение для случая, когда ток, ЭДС и напряжение выбраны неодинаково относительно маркированных зажимов. Например, если изменилось направление тока то:
Расчет цепей при наличии взаимной индуктивности
Последовательное согласное включение индуктивно связанных катушек:
Рассмотрение данного вопроса начнём с простейших способов соединения двух индуктивно связанных катушек: последовательного и параллельного. При этом будем использовать комплексный метод расчета.
При согласном способе включения катушек направление тока относительно маркированных зажимов первой и второй катушек одинаковое (рис. 6.5).
Рис. 6.5. Схема последовательного согласного включения двух катушек
Составим уравнение электрического равновесия для данного участка цепи с учётом индуктивной связи по второму закону Кирхгофа:
Используя полученное выражение, построим векторную диаграмму для данного способа соединения (рис. 6.6).
Из полученного выражения следует, что при согласном включении катушек общая индуктивность возрастает на величину а общее сопротивление — на величину
В частном случае при
уравнение упрощается.
Введём параметр и назовём его сопротивлением взаимной индуктивности.
Рис. 6.6. Векторная диаграмма для последовательного согласного включения двух катушек
Последовательное встречное включение индуктивно связанных катушек
При встречном способе включения направление тока относительно маркированных зажимов первой и второй катушек различно (рис. 6.7).
Рис. 6.7. Схема последовательного встречного включения двух катушек
Используя полученные ранее соотношения, можно записать аналогичное уравнение для встречного включения тех же катушек:
Для данного способа включения общая индуктивность уменьшится на а входное сопротивление — на величину
Аналогичным образом построена векторная диаграмма для встречного соединения катушек (рис. 6.8).
Рис. 6.8. Векторная диаграмма для последовательного встречного включения двух катушек
Параллельное согласное включение индуктивно связанных катушек
Составим систему уравнений для расчета цепи по законам Кирхгофа для схемы рис. 6.9:
Рис. 6.9. Схема параллельного согласного включения двух катушек
Обозначим:
Решим полученную систему уравнений относительно токов:
Входная проводимость цепи будет:
В случае, когда взаимная индуктивность получим:
Параллельное встречное включение индуктивно связанных катушек
Для схемы, представленной на рис. 6.9, при встречном включении катушек уравнения для расчета цепи по законам Кирхгофа будут иметь вид:
Решение данной системы:
Входное сопротивление цепи будет:
Соответствующие векторные диаграммы строятся аналогично случаю последовательного соединения данных катушек.
Расчет разветвлённых цепей при наличии взаимной индуктивности
Расчёт разветвлённых цепей при наличии взаимной индуктивности представляется более сложным этапом. Он осуществляется с помощью законов Кирхгофа либо метода контурных токов. Отметим, что метод узловых потенциалов в данном случае неприменим, поскольку токи в ветвях определяются не только разностью потенциалов соседних узлов, но и токами других ветвей, с которыми они связаны индуктивно. Пусть имеются три индуктивно связанные катушки, намотанные на общий сердечник, выполненный из немагнитного материала, и подключённые к двум источникам ЭДС. Получим электрическую схему по рис. 6.10.
Рис. 6.10. Электрическая схема с индуктивно связанными катушками
Проведем расчёт методом контурных токов и составим систему уравнений относительно заданных на схеме контурных токов:
Решив систему, получим:
Эквивалентная замена индуктивных связей
Отличительной особенностью расчёта цепей с взаимной индуктивностью является то, что приходится одновременно учитывать электрические и магнитные связи. Расчёт цепей упростится, если теми или иными методами исключить магнитную связь и свести данную цепь к чисто электрической цепи. Это возможно, если прибегнуть к «развязыванию» магнитных связей, при этом в составе цепи появятся новые дополнительные элементы.
В схеме рис. 6.11 катушки и
индуктивно связаны. Рассмотрим два варианта их соединения. В узле с они могут соединяться как одноименными, так и разноименными зажимами.
Рис. 6.11. Исходная схема
1. Пусть в узле с катушки соединены разноимёнными зажимами. Составим уравнения по законам Кирхгофа с учётом индуктивной связи:
Преобразуем систему уравнений к следующему виду:
Далее:
Полученная система описывает схему, представленную на рис. 6.12.
Рис. 6.12. Схема после «развязывания» магнитных связей при соединении катушек в узле разноименными зажимами
2. Если в узле с катушки соединены одноимёнными зажимами, аналогичные рассуждения позволили бы получить другую схему (рис. 6.13).
Рис. 6.13. Схема после «развязывания» магнитных связей при соединении катушек в узле одноименными зажимами
Для обоих случаев определим напряжение при условии, что
Тогда получим
Для катушек, включенных разноименными зажимами, получим:
Для катушек, включенных одноименными зажимами, напряжение определится следующим выражением:
Оставаясь неизменным по модулю, в первом случае напряжение отстаёт на определённый угол, а во втором варианте — опережает ток При этом модуль тока
не зависит от способа соединения катушек, то есть:
Появление параметра в процессе процедуры «развязывания» означает, что в состав цепи искусственно вводится некоторая дополнительная индуктивность
Введенный элемент с сопротивлением
(см. рис. 6.12) можно формально рассматривать как емкостной элемент.
Линейный (воздушный) трансформатор
Воздушный трансформатор (рис. 6.14) является классическим примером линейной цепи, содержащей индуктивную связь.
Рис. 6.14. Схема линейного трансформатора
Полные магнитные потоки, создаваемые токами катушек, можно представить как сумму магнитного потока или
сцепленного с витками другой катушки, и потока рассеяния
или
то есть
Индуктивности катушек:
где — индуктивности рассеяния.
Тогда:
Введем понятие коэффициента трансформации, который представляет собой отношение числа витков первичной обмотки к числу витков вторичной обмотки:
С учетом заданных положительных направлений токов и напряжений в обмотках составим уравнения электрического равновесия для трансформатора, выбрав направление обхода в катушках по часовой стрелке:
Преобразуем данные уравнения следующим образом:
Перегруппируем слагаемые:
Полученная система уравнений позволяет построить схему замещения воздушного трансформатора, представленную на рис. 6.15.
Рис. 6.15. Схема замещения линейного трансформатора
Индуктивные элементы и
замещают в реальном трансформаторе индуктивности рассеяния
и
при условии, что количество витков катушек равны
Сопротивления и
замещают активное сопротивление проводов катушек. Индуктивный элемент
замещает в трансформаторе поток взаимной индукции.
В полученной схеме отсутствует магнитная связь между катушками индуктивности, и теперь они соединены электрически. Однако в подавляющем числе случаев не равно
и поэтому прибегают к составлению приведенной схемы замещения трансформатора, для которой параметры вторичной цепи приводятся к первичной. Для реализации такого приведения
умножается на
а
делится на
Вновь преобразуем исходные уравнения:
Проведя аналогичного рода преобразования:
и перегруппировав слагаемые:
получим систему уравнений (6.22), на основании которых составим схему замещения трансформатора (рис. 6.16).
Рис. 6.16. Схема замещения воздушного трансформатора при неравенстве количества витков в катушках
Ток во вновь образовавшейся ветви:
носит название намагничивающего тока холостого хода трансформатора. Смысловое содержание параметров схемы замещения остается тем же.
Вносимое сопротивление трансформатора
Пусть к выходным зажимам трансформатора по рис. 6.17 подключен приемник с сопротивлением
Рис. 6.17. Схема нагруженного трансформатора
Вновь составим систему уравнений для данной цепи по законам Кирхгофа с учетом выбранного направления обхода:
Выразим из второго уравнения ток и подставим его в первое уравнение. Так как
то получим следующее выражение для тока
Подставляя его в первое уравнение, получим:
Проведя ряд алгебраических преобразований, получим следующее выражение для тока
Обозначим:
где и
— соответственно активное и реактивное вносимые сопротивления трансформатора.
Тогда окончательно имеем:
Физически вносимое сопротивление представляет собой такое сопротивление, включенное последовательно с первичной обмоткой, которое позволяет учесть влияние тока нагрузки на ток
Построим векторную диаграмму трансформатора под нагрузкой.
Пусть в качестве нагрузки используется активно-индуктивный потребитель Для построения диаграммы используем составленную выше систему уравнений (6.23). Построение векторной диаграммы, приведенной на рис. 6.18, целесообразно начать с тока
совместив его для определённости с осью вещественных чисел.
Рис. 6.18. Векторная диаграмма линейного трансформатора под нагрузкой
- Трехфазные цепи
- Периодические несинусоидальные напряжения и токи в линейных цепях
- Нелинейные цепи переменного тока
- Переходные процессы
- Символический метод расчета цепей
- Четырехполюсники
- Линейные диаграммы
- Круговые диаграммы
Понятие взаимной индуктивности | Определение взаимной индуктивности
В двух соседних проводящих катушках изменение тока в одной катушке вызовет наведенную ЭДС в другой катушке. Это явление называется взаимной индукцией. Взаимная индукция не является свойством отдельной катушки, так как это свойство влияет на оба / несколько индукторов / индукторов одновременно. Первичная катушка — это катушка, в которой происходит изменение тока, а вторая катушка, в которой индуцируется ЭДС, называется вторичной.
Единица взаимной индуктивности | Единица СИ взаимной индуктивности
Единица взаимной индуктивности такая же, как и индуктивность, т.е. единица взаимной индуктивности в системе СИ — Генри (Гн).
Размерность взаимной индуктивности
Размерность взаимной индуктивности = величина магнитного потока / величина тока = [MLT-2I-2]
Уравнение взаимной индуктивности
Взаимная индукция — это принцип, согласно которому ток, протекающий через проводник, будет генерировать магнитное поле, а изменяющееся магнитное поле вызовет ток в другом проводнике.
Из закона Фарадея и закона Ленца мы можем написать:
E = -(dφ/dt)
E ∝ dφ/dt
Мы уже знаем,? ∝ i [как B = μ0ni и? = nBA]
Следовательно, E ∝ di/dt; E =-Mdi/dt [M — константа пропорциональности]
Этот M называется взаимной индуктивностью.
M = -E/(di/dt)= ЭДС во вторичной обмотке/скорость изменения тока в первичной обмотке.
Мы также можем написать, сравнив это,
-Mdi/dt = dφ/dt
Интегрируя обе стороны, получаем, ? = Ми
Определите взаимную индуктивность 1 Генри
Это измерение в одной катушке длиной 1 м.2 область, произведенная 1 В путем изменения индуктивного тока 1 А / сек в другой катушке при наличии магнитного поля 1 Тл.
Выведите выражение для взаимной индуктивности
Анализ цепей взаимной индуктивности | Эквивалентная схема взаимной индуктивности
Рассмотрим две катушки индуктивности с самоиндукцией, L1 и я2, находятся в тесном контакте друг с другом. Текущий я1 протекает через первую, а я2 протекает через второй. Когда я1 изменяется со временем, магнитное поле также изменяется и приводит к изменению магнитного потока, связанного со 2-й катушкой, ЭДС индуцируется во 2-й катушке из-за изменения тока в 1-й катушке и может быть выражена как,
E21 = -Н2(dφ21/ дт)
Следовательно, Н2φ21 ∝ я1
Или, Н2φ21 = М21i1
Или, М21= N2φ21/i1
Эта константа пропорциональности M21 называется взаимной индуктивностью
Точно так же мы можем написать, N1φ12 = М12}i2 или M12 = N1φ12 /i2
M12 называется другой взаимной индуктивностью
Взаимная индуктивность катушки
Определите взаимную индуктивность между парой катушек
Взаимная индуктивность пары катушек — это отношение магнитного потока, связанного с одной катушкой, и тока, проходящего через другую катушку.
Где, μ0= проницаемость свободного пространства
N1, N2 — витки катушки.
A — площадь поперечного сечения катушки.
L — длина катушки.
Формула взаимной индуктивности | Взаимная индуктивность двух соленоидов
Взаимная индуктивность между двумя катушками,
М = μ0N1N2A/L, если между двумя катушками нет сердечника
М = μ0 мкrN1N2A/L, если сердечник из мягкого железа помещен между катушками
Как найти взаимную индуктивность двух длинных коаксиальных соленоидов?
Вывод взаимной индуктивности двух длинных коаксиальных соленоидов.
Предположим, что два соленоида S1 и S2, находятся в тесном контакте друг с другом. Из-за явления взаимной индукции ток, проходящий через 1-ю катушку, будет индуцировать ЭДС в другой катушке. Теперь подключаем S1 с аккумулятором через тумблер и S2 с гальванометром. В гальванометр определяет наличие тока и его направление.
Из-за протекания тока в S1магнитный поток генерируется в S2, а изменение магнитного потока вызывает ток в S2. Из-за этого тока стрелка гальванометра показывает отклонение. Следовательно, мы можем сказать, что ток i S1 пропорционально? в S2.
? ∝ я
? = Ми
Здесь M называется взаимной индуктивностью.
Теперь, в случае коаксиальных соленоидов, одна катушка помещается внутри другой, так что они имеют общую ось. Предположим, что S1 и S2 есть ходы N1, N2, а области A1,2 соответственно.
Вывод формулы взаимной индуктивности
Для внутренней катушки S1:
Когда текущий я1 протекает через S1, магнитное поле, В1 = μ0N1i1
Магнитный поток, связанный с S2, ф21 = B1A1 = мк0N1i1A1
Это поток для одного витка. [Хотя площадь S2 это2, поток будет генерироваться только в области A1]
Поэтому для N2 обороты φ21 = мк0N1i1A1 х N2/L …..(1), где L — длина соленоидов
Мы знаем,
? = Ми
?21 = М21i1……. (2)
Приравнивая (1) и (2), получаем,
M21i1 = мк0N1i1A1N2/L
M21 = мк0N1A1N2/L
Для внешней катушки S2:
Когда текущий я2 протекает через S2, магнитное поле, В2 = мк0N1i2
Магнитный поток, связанный с S1 для N1 оборотов, φ12 = N1/Д х Ш2A1 = мк0N1N2i2A1/л ….(3)
Подобно внутренней катушке, мы можем написать:
?12 = М12i2…… (4)
Приравнивая (1) и (2), получаем,
M12i2= мк0N1N2i2A1/L
M12 = мк0N1N2A1/L
Из двух приведенных выше выводов мы можем сказать, что M12=M21 = М. Это взаимная индуктивность системы.
Взаимная индуктивность катушки внутри соленоида | Взаимная индуктивность между двумя контурами
Катушка с N2 привязки размещены внутри длинного тонкого соленоида, содержащего N1 количество привязок. Предположим, что привязки катушки и соленоида A2 и а1соответственно, а длина соленоида равна L.
Известно, что магнитное поле внутри соленоида за счет тока i1 является,
В = мк0N1i1/L
Магнитный поток, который проходит через катушку за счет соленоида,
?21 = БА2cos? [? — угол между вектором магнитного поля B и вектором площади A2]
φ21 = мк0N1i1/Д х А2 потому что θ
Взаимная индуктивность, М = φ21N2/i1= мк0N1N2 A2 cosθ/л
Взаимная индуктивность параллельно
В этой схеме 2 индуктора с самоиндукцией L1 и я2, соединены параллельно, Предположим, что общий ток равен i, сумма i1(ток через L1) и я2(ток через L2) Взаимная индуктивность между рассматриваемыми как М.
я = я1 + я2
ди/дт = ди1/ дт + ди2/ дт
Эффективный поток через L1,?1 = л1i1 + Ми2
Эффективный поток через L2,?2 = л2i2 + Ми1
Индуцированная ЭДС в L1,
Наведенная ЭДС в L2,
Мы знаем, что в случае параллельного подключения E1 = E2
-L1(Ди1/дт) – Мди2/dt = Е … (1)
-L1(Ди2/дт) – Мди1/dt = Е … (2)
Решая два уравнения, получаем,
di1/dt = E(ML2)/л1L2 — МИСТЕР2
di2/dt = E(ML)/L1L2 — МИСТЕР2
Мы знаем, Е = -Lэфф (ди/дт)
Или, Lэфф =-E/(di/dt) = L1L2 — МИСТЕР2/L1-L2-2M
Чтобы узнать больше о последовательных и параллельных индукторах нажмите здесь.
Расчет взаимной индуктивности между кольцевыми катушками | Взаимная индуктивность двух круговых контуров
Возьмем две круговые катушки радиуса r1 и R2 разделяя ту же ось. Количество витков в катушках N1 и н2.
Полное магнитное поле в первичной катушке из-за тока i,
В = мк0N1i2r1
Магнитный поток, создаваемый во вторичной катушке из-за B,
Мы знаем взаимную индуктивность,
Факторы, влияющие на взаимную индуктивность | Взаимная индуктивность M зависит от того, какие факторы
- Материал сердечника — воздушный сердечник или твердый сердечник
- Нет поворота (N) катушек
- Длина (L) катушки.
- Площадь поперечного сечения (А).
- Расстояние (d) между катушками.
- Выравнивание / ориентация катушки.
Взаимная индуктивная связь | Коэффициент связи k
Доля магнитного потока, создаваемого одной катушкой, которая связана с другой катушкой, называется коэффициентом связь. Обозначается буквой к.
Коэффициент взаимной индуктивности,
- Если катушки не соединены, k = 0
- Если катушки соединены слабо, k <½ Если катушки сильно соединены, k> ½
- Если катушки идеально соединены, k = 1
Формула самоиндукции и взаимной индуктивности
Самоиндукция L = N? / I = количество витков в катушке x магнитный поток, связанный с катушкой / ток, протекающий через катушку
Взаимная индуктивность M =? / I = магнитный поток, связанный с одной катушкой / ток, проходящий через другую катушку
Взаимная индуктивность между двумя параллельными проводами
Представим, что два параллельных цилиндрических провода, по которым проходит одинаковый ток, имеют длину l и радиус a. Их центры расположены на расстоянии d друг от друга.
Взаимная индуктивность между ними определяется с помощью формулы Неймана.
M = 2l[ln(2d/a) -1 + d/l] (приблизительно)
Где, l >> d
В чем разница между собственной индуктивностью и взаимной индуктивностью?
Собственная индуктивность | Взаимная индуктивность |
Самоиндукция — это свойство отдельной катушки. | Взаимная индуктивность делится на обе катушки. |
Это отношение общего магнитного потока, создаваемого в катушке, и силы тока. | Это отношение общего магнитного потока, создаваемого в одной катушке, и тока, проходящего через другую катушку. |
Если собственный ток увеличивается, индуцированный ток противодействует этому. | Если собственный ток одной катушки увеличивается, индуцированный ток в другой катушке противодействует этому. |
Каково применение самоиндукции и взаимной индукции?
Применение самоиндукции
Принцип самоиндукции используется в следующих устройствах:
- Дроссельные катушки.
- Датчики.
- Реле
- Преобразователь постоянного тока в переменный.
- Фильтр переменного тока.
- Схема осциллятора.
Применение взаимной индуктивности
Принцип взаимной индукции используется в следующих устройствах:
- Трансформаторы.
- Металлоискатель.
- Генераторы.
- Радиоприемник.
- Кардиостимулятор.
- Электродвигатели.
Цепи взаимной индуктивности | Пример схемы взаимной индуктивности
Т-образный контур:
Три индуктора соединены Т-образно, как показано на рисунке. Схема анализируется с использованием концепции двухпортовой сети.
Π-схема:
Напротив, две связанных индуктивности могут быть созданы с использованием эквивалентной схемы π с дополнительными идеальными трансформаторами на каждом порте. Схема может сначала выглядеть сложной, но в дальнейшем ее можно обобщить на схемы, которые имеют более двух связанных индукторов.
В чем разница между взаимной индукцией и взаимной индуктивностью?
Взаимная индукция против взаимной индуктивности
Взаимная индуктивность — это свойство, разделяемое двумя индуктивными катушками, в которых переменный ток в одной катушке индуцирует ЭДС в другой. Если взаимная индукция является причиной, то можно сказать, что взаимная индуктивность является ее следствием.
Точечное соглашение о взаимной индуктивности
Относительная полярность взаимно связанных индукторов определяет, будет ли наведенная ЭДС аддитивной или вычитающей. Эта относительная полярность выражается в виде точек. Обозначается точечным знаком на концах катушки. В любом случае, если ток входит в катушку через точечный конец, взаимно индуцированная ЭДС на другой катушке будет иметь положительную полярность на точечном конце этой катушки.
Энергия, накопленная во взаимно связанных индукторах
Предположим, что две взаимно связанных индуктивности имеют значения самоиндукции L1 и L2. В них движутся токи i1 и i2. Изначально ток в обеих катушках равен нулю. Значит, энергия тоже равна нулю. Значение i1 увеличивается с 0 до I1, а i2 равно нулю. Итак, мощность в индукторе один,
Итак, запасенная энергия,
Теперь, если мы сохраним i1 = I1 и увеличим i2 от нуля до I2, взаимно индуцированная ЭДС в индукторе 12 будет M2 di1 / dt, в то время как взаимно индуцированная ЭДС в индукторе XNUMX будет равна нулю, поскольку iXNUMX не изменяется.
Итак, мощность индуктора два за счет взаимной индукции,
Накопленная энергия,
Полная энергия, запасенная в индукторах, когда оба i1 и i2 достигли постоянных значений, составляет:
ш = ш1 + ш2 = 1/2 л1I12 + 1/2 л2I22 — МИ1I2
Если мы изменим приращения тока, то есть сначала увеличим i2 от нуля до I2, а затем увеличим i1 от нуля до I1, общая энергия, запасенная в индукторах, составит:
ш = ш1 + ш2 = 1/2 л1I12 + 1/2 л2I22 — МИ1I2
Поскольку M12 = М21, можно сделать вывод, что полная энергия взаимно связанных индукторов составляет,
ш = ш1 + ш2 = 1/2 л1I12 + 12L2I22 + МИ1I2
Эта формула верна только тогда, когда оба тока входят в пунктирные клеммы. Если один ток входит в пунктирную клемму, а другой уходит, запасенная энергия будет
ш = ш1 + ш2 = 1/2 л1I12 + 1/2 л2I22 — МИ1I2
Устройства взаимной индуктивности
Модель трансформатора взаимной индуктивности
Напряжение переменного тока может быть увеличено или уменьшено в соответствии с требованиями любого электрическая цепь с помощью статического устройства. Называется трансформатор. Это четырехконтактное устройство, состоящее из двух или более взаимно связанных катушек.
Трансформаторы работают по принципу взаимной индукции. Они передают электрическую энергию от одной цепи к другой, когда цепи электрически не связаны.
Линейный трансформатор:
Если катушки в трансформаторе намотаны на магнитно-линейный материал, то он называется линейным трансформатором. Магнитно-линейные материалы имеют постоянную проницаемость.
В линейном трансформаторе магнитный поток пропорционален току, проходящему через обмотки. Катушка, которая напрямую соединена с источником напряжения, называется первичной катушкой, а катушка, соединенная с импедансом нагрузки, называется вторичной. Если R1 включен в цепь с источником напряжения и R2 включен в цепь с нагрузкой.
Применяя закон Кирхгофа к двум сеткам, мы можем написать:
V = (R1 + jΩL1)I1 – jΩMI2…… (1)
-jΩ МИ1 + (р2 + jΩL2 + ZL)I2 = 0.…..(2)
Входное сопротивление первичной обмотки,
Zin = В/И1 = R1+ jΩL1 + Ом2M2/R2+jΩL2 + ZL
Первый член (R1+ jωL1) называется первичным импедансом, а второй член — отраженным импедансом ZR.
ZR = Ом2M2/R2+jΩ L2 + ZL
Идеальный трансформатор
Трансформатор без потерь называется идеальным трансформатором.
Характеристики:
- Идеальный трансформатор имеет нулевое сопротивление первичной и вторичной обмоток.
- Проницаемость керна считается бесконечной.
- В идеальном случае поток утечки отсутствует.
- Гистерезис не происходит.
- Значение вихревой ток потеря нулевая.
- Считается, что идеальный трансформатор имеет 100% КПД.
Взаимная индуктивность трансформатора по формуле
В идеальном трансформаторе нет потерь мощности. Итак, входная мощность = выходная мощность.
W1i1cosφ = Вт2i2cosφ или Вт1i1 = Вт2i2
Поэтому я1/i2 = Вт2/W1
Поскольку напряжение прямо пропорционально ном. витков в катушке.,
мы можем писать,
V2/V1 = Вт2/W1= N2/N1 = я1/i2
Если V2>V1, то преобразователь называется повышающий трансформатор.
Если V2<V1, то преобразователь называется понижающий трансформатор.
Применение трансформатора:
- Трансформатор может электрически изолировать две цепи
- Наиболее важное применение А. Трансформатор должен усилить (увеличить) или понизить (уменьшить) напряжение. Он может повышать или понижать значение тока и напряжения, так что при увеличении или уменьшении любой из величин мощность остается неизменной.
- Он также может увеличивать или уменьшать значения импеданса, емкости или индуктивности в цепи. Другими словами, трансформатор может выполнять согласование импеданса.
- Трансформатор не позволит носить постоянный ток от одного контура к другому.
- Он используется в мобильных зарядных устройствах, чтобы избежать повреждений, вызванных высоким напряжением.
- Он используется для создания нейтрали в трехфазном источнике питания.
Мост взаимной индуктивности Хевисайда | Мост измерения взаимной индуктивности
МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ взаимная индуктивность в различных цепях для определения значений собственной индуктивности, частоты, емкости и т. д. Мост Хевисайда — это компонент, в котором мы можем измерить взаимную индуктивность с помощью известной собственной индуктивности. Модифицированную версию этого моста можно использовать для выполнения обратного приложения, т.е. измерения собственной индуктивности с помощью известной взаимной индуктивности.
Эксплуатация
Возьмем комбинацию элементов в виде мостовой схемы, показанной на рисунке. Катушка S1 с взаимной индуктивностью M не является частью моста, но взаимно связан с катушкой S2 в мосте с самоиндукцией L1. Ток, проходящий через S1 производит поток, связанный с S2. В соответствии с условным обозначением точек, мы можем сказать, что ток i проходит через S1 и далее делится на i1 и я2. Текущий я1 проходит через S2.
В сбалансированном состоянии
i3=i1; 4=i2 ; я = я1+i2
Поскольку через гальванометр не проходит ток, потенциал B равен потенциалу D.
Поэтому можно сказать, что E1=E2
Или, (я1+i2)jΩM + i1(R1+jΩ L1) = я2(R2+jΩ L2)
i1R1+jΩ (L1i1+ М(я1+i2))= я2R2 + джОм L2i2 … .. (1)
i1[R1+jΩ (L1+М) = я2[R2+jΩ (L2-М)] ……(2)
Аналогично E3=E4
i3R3=i4R4
Или я1R3=i2R4……. (3)
Разделив (1) на (3), получим,
R1+jΩ (L1+М)/Р3 = R2 + джОм (L2-МИСТЕР4
Взяв реальные части обеих сторон, мы можем написать:
R1/R3=R2/R4
Взяв мнимые части обеих сторон, мы можем написать:
L1+М/Р3=L2-МИСТЕР4
Итак, М=Р3L2-R4L1/R3+R4
Из приведенного выше уравнения можно сделать вывод, что значение L1 должно быть известно. Теперь, если R3=R4,
R1=R2 и М = L2-L1/2
Или, L2= л1+ 2M
Таким образом, мы можем узнать значение неизвестной индуктивности L2
Мост, измеряющий неизвестную взаимную индуктивность через два известных значения самоиндукции L1 и я2, называется мостом измерения взаимной индуктивности или Кэмпбелл Бридж.
Взаимная индуктивность полевого якоря синхронного двигателя
В переменном токе, вращающемся синхронный двигатель, установившаяся скорость пропорциональна частоте тока, проходящего через его якорь. Следовательно, создается магнитное поле. Ток вращается с той же скоростью, что и синхронная скорость вращения тока возбуждения на роторе. Из-за этого явления возникает взаимная индукция между якорем и крыльями возбуждения. Это явление известно как взаимная индуктивность полевого якоря.
Вы когда-нибудь замечали, что когда вокруг вас находятся счастливые, восторженные друзья, то вы тоже чувствуете себя счастливым? Можно рассматривать явление взаимной индукции аналогичным образом: ток, протекающий через одну цепь, создает ток в соседней цепи. Взаимная индуктивность является количественной мерой изменений, необходимых для этого эффекта. Здесь, мы исследуем использование моделирования для вычисления взаимной индуктивности в различных конфигурациях проволочных катушек.
Взаимная индуктивность и Индукционные Токи
Когда изменяющийся во времени ток протекает через электрическую цепь — первичный контур или первичную катушку — он вызывает изменение магнитного поля. Магнитное поле изменяется во времени, что приводит к появлению тока в соседнем контуре, вторичной катушке. Этот эффект называется взаимная индукция. Взаимная индукция играет важную роль в функционировании трансформаторов, моторов, генераторов и других приборов.
Довольно часто, требуется рассчитать, каким образом необходимо изменить ток в первичной катушке, чтобы получить заданное значение напряжения во вторичной обмотке. Для того чтобы сделать это, необходимо вычислить взаимную индуктивность рассчитывая эффект в катушке в зависимости от изменения тока в другой катушке. Вычисление взаимной индуктивности поможет также избежать любых неисправностей в работе приборов, так как взаимная индукция может приводить к возникновению нежелательных взаимосвязей между проводниками.
При вычислении взаимной индуктивности — ориентация, форма обмотки, взаимное расположение катушек друг относительно друга — все имеет значение. Если две катушки расположены близко, почти весь магнитный поток, производимый первичной катушкой, будет взаимодействовать с витками вторичной катушки, создавая, таким образом, большую взаимную индуктивность. С другой стороны, катушки разнесенные друг от друга будут иметь значительно меньшую взаимную индуктивность. Наличие магнитных материалов также может увеличивать значение взаимной индуктивности.
Давайте рассмотрим подробнее, каким образом эти факторы влияют на взаимную индуктивность, моделируя различные конфигурации катушек.
Использование Моделирования для Вычисления Взаимной Индуктивности
Между Одновитковыми Катушками
Для нашего первого примера одновитковой катушки, цепь состоит из первичной одновитковой катушки радиусом 100 мм и вторичной одновитковой катушки радиусом 10 мм. Оба провода имеют толщину 1 мм и располагаются в концентрической компланарной геометрии и обладают 2D осевой симметрией. Моделируемая область окружена бесконечным пространством. В первичной катушке возбуждается электрический ток силой 1 А и частотой 1 кГц.
Конфигурация двух одновитковых катушек.
Функция Single-Turn Coil (Одновитковая Катушка) используется для моделирования конфигурации катушек в режиме постоянного (DC) тока. Поскольку ток в первичной обмотке является постоянным (DC), он не может создать изменяющееся магнитное поле. Таким образом, магнитный поток через вторичную катушку не изменяется, что означает отсутствие индуцированного напряжения. Тем не менее, вы все равно можете рассчитать взаимную индуктивность, анализируя суммарный магнитный поток и сравнивая его значение с аналитическими результатами. После этого конфигурация рассчитывается в режиме переменного (AC) тока для вычисления индуцированных токов во вторичной катушке.
На графиках представлены результаты моделирования магнитного поля (DC) постоянного тока, а также вычисленная взаимная индуктивность конфигурации катушек.
Графическое представление плотности магнитного потока для модели (DC) постоянного тока.
Наведенные токи в конфигурации одновитковых катушек для разомкнутого (слева) и замкнутого (справа) контура.
По результатам моделирования, можно проанализировать соотношение между индуцированными токами в AC модели и индуктивностью в DC модели.
Многовитковая Катушка и Группа Катушек
Похожая конфигурация катушек может быть смоделирована в двух различных вариациях. В этом примере, первичной катушкой является та же одновитковая катушка, однако вторичная катушка имеет двадцать витков. Мы можем вычислить взаимную индуктивность для этой модели в обоих случаях — замкнутой и разомкнутой обмотки (цепи).
Взаимное расположение первичной одновитковой катушки и вторичной катушки с двадцатью витками.
В примере многовитковой катушки, первичная катушка моделируется с помощью функции Single-Turn Coil (Одновитковой Катушки), которая используется для возбуждения катушки. Вторичная катушка моделируется с помощью функции Multi-Turn Coil (Многовитковой Катушки). Гомогенизированный подход используется для моделирования витков вторичной катушки.
Графическое представление линий магнитного потока для случаев разомкнутой и замкнутой цепи. Вычисленное падение напряжения в витках вторичной катушки — величина, которая может быть использована для определения взаимной индуктивности.
Магнитный поток в конфигурации с многовитковой катушкой для разомкнутой (слева) и замкнутой (справа) обмотки (цепи).
Ту же конфигурацию можно также смоделировать таким образом, что каждый виток катушки будет моделироваться явно (отдельно). В примере группы катушек, первичная катушка моделируется с помощью функции Single-Turn Coil (Одновитковой Катушки). Вторичная катушка также моделируется с помощью функции Single-Turn Coil, но с дополнительной настройкой Coil group (группы Катушек), которая задает, что одна и та же величина тока протекает в каждом витке катушке и вычисляет общее падение напряжения для определения взаимной индуктивности.
Значение напряжения, найденное с помощью настройкой Coil group (Группа Катушек), используется для оценки взаимной индуктивности и находится в хорошем соответствии с теоретическими результатами.
Линии магнитного потока (слева) и индуцированные токи (справа) для конфигурации группы катушек.
Среда COMSOL Multiphysics предоставляет легкий способ вычисления взаимной индуктивности для множества различных конфигураций электрических цепей. Представьте себе и используйте возможности этой функциональности для нужд собственного моделирования.
Скачать Учебные Модели
- Mutual Inductance and Induced Currents Between Single-Turn Coils
- Mutual Inductance and Induced Currents in a Multi-Turn Coil
- Mutual Inductance and Induced Currents in a Coil Group
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью
Занятия1 и2
Цели занятий:
1.Ознакомиться с особенностями расчета цепей с взаимной индуктивностью.
2.Научиться выполнять развязку магнитных связей.
3.Научиться строить векторные диаграммы.
Электрические цепи могут содержать индуктивные катушки с магнитной связью: ЭДС в одной катушке возникает при изменении магнитного потока, созданного током другой катушки. Это явление характеризуют взаимной индуктивностью М.
Степень магнитной связи определяют коэффициентом связи K:
K = |
M |
≤1, |
||||||
L L |
||||||||
1 |
2 |
|||||||
где L1 и L2 – индуктивности катушек с магнитной связью. |
||||||||
Два |
зажима индуктивно |
связанных |
элементов |
называют |
||||
одноименными, если при одинаковом направлении |
токов относительно них |
|||||||
магнитные потоки самоиндукции и взаимоиндукции складываются. |
||||||||
Одноименные зажимы обозначают точками. Направление магнитного |
||||||||
потока определяют по правилу буравчика или правой руки: если |
охватить |
рукой катушку (пальцы направлены по току), то большой палец покажет направление магнитного потока.
Если токи одинаково ориентированы относительно одноименных зажимов, имеет место согласное включение индуктивно связанных катушек, если противоположно – встречное.
Условно положительное направление ЭДС самоиндукции любого индуктивного элемента совпадает с условно положительным направлением тока этого элемента. Условно положительное направление ЭДС взаимной индукции еM совпадает с направлением ЭДС самоиндукции eL при
согласном включении (e = eL +eM ) и противоположно направлено при
встречном включении (e = eL −eM ).
В общем случае направление напряжения U M , обусловленного взаимной индуктивностью, можно определить по правилу: ток IK и напряжение j M ωI K одинаково направлены относительно одноименных
зажимов индуктивных элементов. Это правило дает возможность составить уравнение по второму закону Кирхгофа в случае, когда нельзя определить характер включения индуктивных элементов (согласное или встречное).
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-99- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью
При наличии взаимной индуктивности токи в ветвях зависят от токов в других ветвях, поэтому для расчета можно использовать только методы непосредственного использования законов Кирхгофа и контурных токов, в которых эти зависимости учитываются.
Чтобы устранить ограничения, накладываемые на методы расчета, прибегают к развязке магнитных связей, т. е. к замене цепи с взаимной индуктивностью эквивалентной цепью, но без магнитных связей. Магнитная развязка применима для узлов, в которых сходятся не более трех ветвей.
Правило развязки: если в узле сходятся три ветви и две из них индуктивно связаны (рис. 2.53), то для развязки в первые две ветви добавляют индуктивный элемент с сопротивлением ХМ , а в третью ветвь –
элемент с сопротивлением ± X M (рис. 2.54). Верхние знаки относятся к
случаю, когда в узле соединены одноименные зажимы индуктивно связанных элементов.
1 |
2 |
1 |
2 |
|||
I1 |
I |
I |
||||
2 |
1 |
I2 |
||||
R1 |
R2 |
R |
R |
|||
1 |
2 |
|||||
XM |
X L1 XM |
|||||
X L |
X L |
X L X |
M |
|||
2 |
2 |
|||||
1 |
||||||
I3 |
I3 |
|||||
3 |
±XM |
|||||
3 |
||||||
Рис. 2.53 |
Рис. 2.54 |
При построении векторных диаграмм добавляются векторы напряжений, обусловленных взаимной индуктивностью. Они опережают на 90° векторы вызвавших их токов при согласном включении и отстают на 90° – при встречном.
Рассмотрим целевые задачи на конкретных примерах.
Задача1
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-100- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью
Вычислить входное комплексное сопротивление схемы Z (рис. 2.55),
если R1 = 3 Ом, R2 |
=5 Ом, X L |
= 4 Ом, |
X L |
=8 Ом, X M = 2 Ом. |
||||
1 |
I |
2 |
||||||
1 |
1 |
|||||||
R1 |
||||||||
X L |
||||||||
1 |
||||||||
I3 |
||||||||
2 |
||||||||
3 |
||||||||
U |
I2 |
|||||||
R2 |
X L2
Рис. 2.55
Решение
1. Выявим узлы (2 и 2′) , направим токи.
Обратите внимание! При отсутствии взаимной индуктивности входной ток замыкался бы по «закоротке» (2 −3 −3′− 2′) и ток I2 был бы равен
нулю. В схеме рис. 2.55 входной ток создает магнитный поток, который наводит во второй индуктивной катушке ЭДС, а она вызывает ток I2 .
2. Входное комплексное сопротивление Z является коэффициентом пропорциональности между комплексами входного напряжения U и входного тока I1 :
Z =U I1
3. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура
1−2 −3 −3 −2 |
′ |
−1 |
, связывающее величины |
U |
и I1. Напряжение на |
′ |
′ |
индуктивном элементе образует напряжение, обусловленное собственной
индуктивностью |
j X |
L |
I , и |
напряжение, |
обусловленное |
взаимной |
|||||
1 |
|||||||||||
1 |
I2 : |
j X M I2 . Катушки |
|||||||||
индуктивностью |
и созданное |
током |
включены |
||||||||
согласно, поэтому напряжения |
j X |
L |
I |
и j X |
M |
I |
записывают с одинаковыми |
||||
1 |
2 |
||||||||||
1 |
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-101- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью
знаками, которые зависят от выбранного направления обхода контура. При обходе по часовой стрелке получим
R1 I1 + j X L1 I1 + j XM I2 =U .
4. Вычислить Z не позволяет наличие в уравнении тока I2 . Для исключения тока I2 составим еще одно уравнение по второму закону Кирхгофа. Для контура 2 −3 −3′−2′ получим
R2 I2 + j XL2 I2 + j XM I1 = 0 .
Отсюда ток I = − |
j XM |
I |
||||||||||||||||||||||
2 |
R2 + j X L |
1 |
||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||
5. Подставив полученное выражение в первое уравнение, получим |
||||||||||||||||||||||||
(R + |
j X |
L |
)I |
+ |
XM2 |
I |
=U . |
|||||||||||||||||
1 |
1 |
R2 + j X L |
1 |
|||||||||||||||||||||
1 |
||||||||||||||||||||||||
Тогда |
2 |
|||||||||||||||||||||||
U |
XM2 |
4 |
j48,5° |
|||||||||||||||||||||
Z = I = R1 |
+ j X L1 + |
=3 + j4 + |
= 4,86e |
Ом. |
||||||||||||||||||||
R + j X |
L |
5 + j8 |
||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||
Задача2 |
||||||||||||||||||||||||
Вычислить емкость конденсатора С и ток |
I в схеме рис. 2.56, если |
|||||||||||||||||||||||
R1 = R2 =10 Ом, L1 = L2 =15 мГн, |
M = 5 мГн, |
f = 500 Гц, U =120 В, ϕ = 0. |
||||||||||||||||||||||
Построить векторную диаграмму. |
||||||||||||||||||||||||
I |
R |
L1 |
||||||||||||||||||||||
1 |
||||||||||||||||||||||||
R2 |
||||||||||||||||||||||||
U |
||||||||||||||||||||||||
С |
L2 |
|||||||||||||||||||||||
Рис. 2.56 |
||||||||||||||||||||||||
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-102- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью
Решение
1. Цепь имеет чисто активный характер, так как угол ϕ = 0, поэтому
ток I = R1 U+ R2 = 12020 = 6 А.
2. Для вычисления емкости конденсатора воспользуемся условием резонанса напряжений: Х = 0 . Реактивное сопротивление Х является мнимой составляющей (без j ) комплексного сопротивления схемы Z .
Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:
U = R I + j X |
L |
I − j X |
M |
I |
+ R I + j X |
L |
I − j X |
M |
I |
− j X |
C |
I . |
||||||||||||
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
Комплексное сопротивление |
||||||||||||||||||||||||
Z = U = R + R + j (X |
L |
+ X |
L |
−2X |
M |
− X |
C |
). |
||||||||||||||||
I |
1 |
2 |
||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
Реактивное сопротивление |
||||||||||||||||||||||||
X = Im(Z )= X L |
+ X L |
2 |
− 2X M − XC = 0 . |
|||||||||||||||||||||
Отсюда |
1 |
|||||||||||||||||||||||
XC = X L |
+ X L |
2 |
− |
2X M = 2π f (L1 + L2 − 2M )= |
||||||||||||||||||||
1 |
||||||||||||||||||||||||
Емкость |
= 2π 500(15 +15 − 2 5) 10−3 = 62,8 Ом. |
|||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||
C = |
= |
=5 мкФ. |
||||||||||||||||||||||
2π f XC |
2π 500 62,8 |
3. Векторная диаграмма приведена нарис. 2.57.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-103- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью
jX L I |
− jX M I |
||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||
− jX M I |
|||||||||||||||||
R2 I |
− jXC I |
||||||||||||||||
jX L1I |
|||||||||||||||||
R1 I |
|||||||||||||||||
U |
I |
||||||||||||||||
Рис. 2.57 |
|||||||||||||||||
Следующую задачу решите самостоятельно. |
|||||||||||||||||
Задача3 |
|||||||||||||||||
Вычислить напряжения Uаb и Ubс |
в схеме рис. 2.58, если U =130 В, |
||||||||||||||||
R1 = 2 |
Ом, R2 =3 |
Ом, X L |
= 3 Ом, |
X L |
2 |
= 7 Ом, X M =1 Ом. Построить |
|||||||||||
1 |
|||||||||||||||||
векторную диаграмму. |
X L |
||||||||||||||||
I |
R |
||||||||||||||||
a |
1 |
1 |
b |
||||||||||||||
U |
X L2 |
||||||||||||||||
R |
|||||||||||||||||
c |
2 |
||||||||||||||||
Рис. 2.58
Ответ: Uаb = 44,7 В; Ubс = 85,5 В.
Задача4
Определить величину взаимной индуктивности М двух катушек, включенных последовательно под напряжение U = 50 В частотой f = 50 Гц,
если при согласном включении ток Iс =1 А, при встречном Iв = 2 А. Ваттметр при согласном включении показывает мощность Рс =15 Вт.
Решение
1. Вычислим полные сопротивления схемы при разных способах включения по закону Ома:
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-104- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью
Zс = U = |
50 =50 Ом; |
Zв = U = |
50 |
= 25 |
Ом. |
Iс |
1 |
Iв |
2 |
||
2. Вычислим активное сопротивление схемы, воспользовавшись |
|||||
формулой активной мощности Р = R I 2 . |
|||||
с |
с |
Отсюда R = R1 + R2 = Pс2 = 15 =15 Ом.
Iс 1
3.Вычислим реактивные сопротивления Хс и Хв из треугольников сопротивлений:
Хс = Zc2 − R2 =
502 −152 = 47,7 Ом;
Хв = Zв2 − R2 =
252 −152 = 20 Ом.
4.Вычислим взаимную индуктивность М.
Так как Хс = ХL |
+ X L |
+ 2X M |
, а Хв = ХL |
+ X L |
− 2X M , то Хс − Хв = 4ХМ . |
||||||
1 |
2 |
1 |
2 |
||||||||
Отсюда ХМ = |
Хс − Хв |
= |
47,7 − 20 = 6,925 |
Ом. |
|||||||
4 |
4 |
||||||||||
Тогда M = |
XM |
= |
XM |
= |
6,925 |
= 0,022 Гн. |
|||||
2π f |
314 |
||||||||||
ω |
Задача5
Вычислить показания вольтметра в схеме рис. 2.59, если Е =100 В, R = XC = X L1 = X L2 =10 Ом, X M =5 Ом, RV → ∞.
XC |
X L |
||
2 |
|||
I |
UM |
V UV |
|
E |
|||
X L |
|||
R |
1 |
||
Рис. 2.59
Пояснение к решению
В месте подключения вольтметра цепь практически разорвана, поэтому тока во второй катушке нет. Ток источника ЭДС замыкается по контуру,
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-105- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью
содержащему первую катушку, и наводит во второй катушке ЭДС взаимной индукции. Учитывающее эту ЭДС напряжение UM направлено одинаково с
током I в первой катушке относительно одноименных зажимов (от зажима с точкой). На первой идеальной катушке возникает только одно напряжение,
обусловленное |
собственной индуктивностью |
UL , на второй |
– |
обусловленное |
взаимной индуктивностью UM . |
1 |
|
Решение
1. Запишем выражение напряжения вольтметра как разность потенциалов на его зажимах:
UV =UL1 +UM = j X L1 I + j XM I .
Оба слагаемых записаны со знаком плюс, так как при проведении расчетов перемещение происходит навстречу току I и напряжению UM , т. е.
всторону увеличения потенциала.
2.Вычислим нужный для расчета напряжения ток I :
I = |
E |
= |
100 |
=10 |
А. |
||||
R + j X L |
− j XC |
10 |
+ j10 |
− j10 |
|||||
1 |
Тогда UV = j10 10 + j 5 10 = j150 В.
Вольтметр показывает действующее значение напряжения UV =150 В. Следующую задачу решите самостоятельно.
Задача6 |
|||||||||||||||||
Вычислить |
показания |
вольтметра |
в |
схеме |
рис. 2.60, если |
||||||||||||
е =100 |
sin103 t |
В, X |
= 20 |
Ом, X |
= X |
=10 |
Ом, R |
→ ∞, K = 0,5. |
|||||||||
2 |
L |
C |
L |
||||||||||||||
V |
|||||||||||||||||
1 |
X L |
2 |
X L |
||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||
1 |
|||||||||||||||||
E |
V |
||||||||||||||||
XC |
|||||||||||||||||
Ответ: UV =170 В. |
Рис. 2.60 |
||||||||||||||||
|
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-106- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью
Задача7
Определить показания вольтметров в цепи (рис. 2.61), если R = 30 Ом,
L = 70 мГн, M =10 мГн, RV = ∞, i = 0,5sin 500 t А.
i |
||
L,R |
L,R |
L,R |
1 |
2 |
3 |
M |
M |
|
V2 |
M |
V1 |
i |
||
Рис. 2.61 |
||
Пояснение к решению |
Сложность решения задачи заключается в том, что у индуктивных катушек не размечены одноименные зажимы. Разметка зажимов зависит от направления навивки катушки на сердечник и тока в ней. У катушек 2 и 3 (см. рис. 2.61) они одинаковы, поэтому и одноименные зажимы у них должны быть размечены аналогично.
Решение
1.Составим схему замещения анализируемой цепи (рис. 2.62). Разметим одноименные зажимы.
2.Ток в схеме один, так как в местах подключения вольтметров цепь разорвана. Комплекс действующего значения тока
I = Im2 = Im2 e jψi = 0,25 e j0° = 0,35 А.
3. Ток во второй катушке создает напряжения взаимной индукции в первой и третьей катушках, направленные относительно одноименных зажимов одинаково с током (см. рис. 2.62).
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-107- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью
1 |
R |
L |
i |
L |
R |
3 |
V2 |
uM |
L |
uM |
V1 |
||
2 |
||||||
R |
||||||
i |
||||||
Рис. 2.62 |
4. Вычислим показания вольтметров:
UV = RI + j X LI − j XM I = RI + j LωI − j МωI |
= |
|
1 |
||
= 30 0,35 + j 70 10−3 500 0,35 − j10 10−3 500 0,35 = |
||
=10,5 + j10,5 =14,8e j45° В. |
||
UV2 |
= R I + j X L I + j XM I =30 0,35 + j80 10−3 500 0,35 = |
|
=10,5 + j14 =17,5e j 53°В. |
Первый вольтметр показывает напряжение UV1 =14,8 В, второй –
UV2 =17,5 В.
Следующую задачу решите самостоятельно.
Задача8 |
|||
Вычислить |
показания |
вольтметров в схеме рис. 2.63, если |
|
i =10sin 5000 t А, С = 2 мкФ, |
M12 = M23 = 2 мГн, RV = ∞. |
||
Ответ: UV |
= 770 В; UV |
2 |
= 630 В. |
1 |
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-108- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью
1 |
2 |
3 |
||||||||
V1 |
C |
V2 |
|||||||||||
i |
|||||||||||||
Рис. 2.63 |
|||||||||||||
Задача9 |
|||||||||||||
Вычислить |
показания |
ваттметров |
в схеме |
рис. |
2.64, если |
||||||||
U = (150 + j150) |
В, |
R =5 |
Ом, R =10 Ом, |
L ω=15 Ом, |
L ω− |
1 |
= 0 |
, М ω= |
|||||
10 Ом. |
1 |
2 |
1 |
2 |
Сω |
||||||||
* W |
* |
W |
* I |
||||||||||
I |
* |
2 |
|||||||||||
3 |
2 |
||||||||||||
I |
|||||||||||||
1 * |
X L2 |
||||||||||||
W |
* |
||||||||||||
1 |
|||||||||||||
U |
X L1 |
R |
|||||||||||
2 |
|||||||||||||
R1 |
XC |
||||||||||||
Рис. 2.64
Решение
1. Сделаем магнитную развязку (рис. 2.65).
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-109- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью
XM |
I |
||
I |
2 |
||
I1 |
X L2− XM |
||
U |
X L1− XM |
R2 |
|
R1 |
XC |
Рис. 2.65
2. Найдём эквивалентное комплексное сопротивление схемы:
[R |
+ j(L |
− M )ω] R + j(L − M )ω− j |
1 |
||||||||||
1 |
1 |
2 |
2 |
||||||||||
Z = jMω+ |
Сω |
= |
|||||||||||
R |
+ j(L |
− M )ω+ R + j(L − M )ω− j |
1 |
||||||||||
1 |
1 |
2 |
2 |
Сω |
|||||||||
= j10 + |
(5 |
+ j5)(10 − j10) |
= j10 + |
7,07e j45° 14,1e− j45° |
= |
||||||||
15 − j5 |
15,8e−18,43° |
||||||||||||
= j10 +6,3e j18,43° |
= j10 +5,98 + j1,99 ≈ 6 + j12 =13,4e j63,43° Ом. |
||||||||||||
3. Найдём ток в свёрнутой схеме по закону Ома: |
|||||||||||||
I |
= U |
= 150 + j150 = |
212,13e j45° |
=15,8e− j18,43° |
А. |
||||||||
Z |
13,4e j63,43° |
13,4e j63,43° |
4. Найдём токи в параллельных пассивных ветвях:
Z 2 |
10 − j10 |
− j18.43° |
− j45° |
||||||||||
I = |
I = |
15,8e |
=14,1e |
А; |
|||||||||
Z1 + Z 2 |
15,8e− j18,43° |
||||||||||||
1 |
|||||||||||||
I2 = |
Z1 |
I = |
5 + j5 |
15,8e− j18,43° |
= 7,07e j45° А. |
||||||||
Z1 + Z 2 |
15,8e− j18,43° |
||||||||||||
5. Вычислим показания ваттметров, воспользовавшись |
|||||||||||||
комплексной мощности: |
|||||||||||||
P |
|||||||||||||
= Re U |
I1 |
= Re(212,13e j45° 14,1e j45°)= 212,13 14,1 cos90° = |
|||||||||||
1 |
|||||||||||||
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-110- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью
P |
2 |
Вт; |
|||
= Re U |
I |
= Re(212,12e j45° 7,07e− j45°)=1500 |
|||
2 |
|||||
P |
Вт. |
||||
= Re U |
I |
= Re (212,12e j45° 15,8e j18,43°)=1500 |
|||
3 |
|||||
Следующую задачу решите самостоятельно.
Задача10
Определить показания вольтметра и ваттметра в схеме рис. 2.66 при
разомкнутом и замкнутом выключателе, |
если R1 = R2 =10 Ом, X1 = X2 =10 |
Ом, К = 0,8, Е = 141 В. |
|
R1 |
|
X1 |
X2 V |
E |
* |
* |
W |
R2 |
Рис. 2.66
Ответ: а) U = 80 B; Р = 0 Вт; б) U = 27 B; P = 130 Вт. Задачи 11–15 предлагаются для самоконтроля.
Задача11
Вычислить напряжения Uab и Ubc в схеме рис. 2.67, если U = 100 B,
R1 = 2 Ом, R2 =4 Ом, |
X L |
= 6 Ом, |
X L |
2 |
= 4 |
Ом, X M =1 Ом. Построить |
|||||
векторную диаграмму. |
1 |
||||||||||
a |
R |
X L1 |
b |
R |
X L2 |
c |
|||||
1 |
2 |
||||||||||
U
Рис. 2.67
Ответ: Uab =53,9В, Ubc = 50 В.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-111- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью
Задача12
Определить показания вольтметра в схеме рис. 2.68, если Е = 100 В,
XС =130 Ом, R1 =30 Ом, |
X L |
= |
80 Ом, R2 |
=10 Ом, |
X L = 50 Ом, R3 = |
|||||||||
1 |
2 |
|||||||||||||
= 10 Ом, X L =80 Ом, XM |
13 |
= 60 |
Ом, XM |
23 |
= 40 Ом, RV = ∞. |
|||||||||
3 |
||||||||||||||
Ответ: UV = 79 В. |
||||||||||||||
XM |
||||||||||||||
XC |
X L |
13 |
||||||||||||
R |
X |
L 3 |
R |
|||||||||||
1 |
||||||||||||||
1 |
3 |
|||||||||||||
E |
||||||||||||||
X L |
XM23 |
V |
||||||||||||
2 |
||||||||||||||
R2 |
||||||||||||||
Рис. 2.68
Задача13
Две индуктивно связанные катушки соединены между собой параллельно и подключены к сети переменного тока напряжением 120 В. Активным сопротивлением катушек пренебрегаем. При согласном включении токи в катушках были равны: I1 = 0, I2 = 6 А. При встречном
включении ток во второй катушке в 2,5 раза больше тока в первой. Определить коэффициент связи между катушками и ток в
неразветвленной части схемы при встречном включении катушек. Ответ: К =0,5, I =14 А.
Задача14 |
|||||||
Вычислить |
показания ваттметра |
в схеме рис. 2.69, если |
|||||
R1 |
= R2 = X L |
= XC |
2 |
= X M |
=10 Ом, X L |
= XC |
= 20 Ом, J =10 А. |
2 |
1 |
1 |
|||||
Ответ: |
Р = 2000 Вт. |
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-112- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью
R1 |
* |
||||
* W |
|||||
j |
X L |
X |
XC |
||
L |
2 |
||||
1 |
2 |
R2 |
|||
XC |
|||||
1 |
Рис. 2.69
Задача15
Индуктивные катушки могут быть соединены в узле С (рис. 2.70) либо одноименными, либо разноименными зажимами. Определить, при каком
соединении напряжение U AB отстает по фазе от тока I .
Ответ: разноименными зажимами. j
X L |
С |
R |
1 |
I |
|
XM |
||
X L |
||
2 |
||
A |
B |
Рис. 2.70
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-113- |
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #